Question

15．如圖所示，太陽系各行星可近似看成在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)天王星公轉(zhuǎn)周期為T₁，公轉(zhuǎn)半徑為R₁；地球公轉(zhuǎn)周期為T₂，公轉(zhuǎn)半徑為R₂．不計(jì)兩行星之間的引力作用，萬有引力常量為G，當(dāng)?shù)厍蚝吞焱跣沁\(yùn)行到太陽兩側(cè)，且三者排成一條直線時(shí)，下列說法正確的是（　�。�

• A． 太陽的質(zhì)量為$\frac{{{4π}^{2}{R}_{2}}^{2}}{{{GT}_{2}}^{2}}$
• B． 天王星公轉(zhuǎn)速度大于地球公轉(zhuǎn)速度
• C． 地球與天王星相距最近至少需經(jīng)歷$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$
• D． 天王星公轉(zhuǎn)的向心加速度與地球公轉(zhuǎn)的向心加速度之比為$\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合天王星的軌道半徑和周期求出太陽的質(zhì)量．根據(jù)軌道半徑的大小比較線速度的大小以及向心加速度之比．地球與天王星相距最近，兩者轉(zhuǎn)過的角度相差π，根據(jù)周期的大小求出經(jīng)歷的時(shí)間．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{{R}_{2}}^{2}}=m{R}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$得，太陽的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$，故A錯(cuò)誤．
B、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=ma$，解得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，因?yàn)樘焱跣堑能壍腊霃捷^大，則線速度較小．故B錯(cuò)誤；
C、當(dāng)?shù)厍蚝吞焱跣沁\(yùn)行到太陽兩側(cè)，三者排成一條直線，到地球與天王星相距最近，兩者轉(zhuǎn)過的角度相差π，所以$\frac{2π}{{T}_{2}}t-\frac{2π}{{T}_{1}}t=π$，解得t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$．故C正確．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=ma$，解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，天王星和地球的向心加速度之比為$\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$．故D正確．
故選：CD

點(diǎn)評(píng) 本題要知道地球和天王星的最遠(yuǎn)距離和最近距離是它們?cè)谝粭l連線上時(shí)，由幾何關(guān)系結(jié)合周期關(guān)系求解時(shí)間．掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用．