Question

18．如圖所示，粗細均勻的圓木棒A下端離地面高h，上端套著一個細環(huán)B．A和B的質量均為m，A和B間的滑動摩擦力為f，且f＜mg．用手控制A和B，使它們從靜止開始自由下落，當A與地面碰撞后，A以碰撞地面時的速度大小豎直向上運動，與地面碰撞時間極短，空氣阻力不計，運動過程中A始終呈豎直狀態(tài)．求：
（1）木棒A與地面第一次碰撞后A、B的加速度大小和方向；
（2）若A再次著地前B不脫離A，A的長度應滿足什么條件？

Answer 1

分析 剛開始棒和環(huán)一起向下做自由落體運動，求出棒落地時的速度，根據牛頓第二定律求出木棒彈起豎直上升過程中木棒和環(huán)的加速度，而環(huán)在木棒上升及下落的全過程中一直處于加速運動狀態(tài)，所以木棒從向上彈起到再次著地的過程中，棒與環(huán)的加速度均保持不變，根據運動學基本公式求出棒再次著地時的時間，從而求出這段時間內環(huán)運動的位移即可棒的最小長度．

解答 解：（1）木棒與環(huán)一起自由下落，設木棒著地時的速度為${v}_{0}^{\;}$，則有
${v}_{0}^{2}=2gh$                
得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2gh}$
木棒A與地面第一次碰撞后，木棒彈起豎直上升過程中，根據牛頓第二定律得
對木棒：$f+mg=m{a}_{1}^{\;}$            
得   ${a}_{1}^{\;}=\frac{f+mg}{m}$    方向豎直向下
對環(huán)：$mg-f=m{a}_{2}^{\;}$               
得   ${a}_{2}^{\;}=\frac{mg-f}{m}$  方向豎直向下
（2）環(huán)在木棒上升及下降的全過程中一直處于向下加速運動狀態(tài)，木棒從向上彈起到再次著地的過程中木棒與環(huán)的加速度均保持不變．
木棒在空中運動的時間為     $t=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}$
在這段時間內，環(huán)運動的位移為$x={v}_{0}^{\;}t+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}$        
要使環(huán)不碰地面，則要求木棒長度不小于x，即L≥x
解得：$L≥\frac{8{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}h}{（mg+f）_{\;}^{2}}$

答：（1）木棒A與地面第一次碰撞后A的加速度大小為$\frac{f+mg}{m}$和方向豎直向下；B的加速度大小為$\frac{mg-f}{m}$，方向豎直向下
（2）若A再次著地前B不脫離A，A的長度應滿足條件$L≥\frac{8{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}h}{（mg+f）_{\;}^{2}}$

點評 本題主要考查了牛頓第二定律以及運動學基本公式的直接應用，要求同學們能正確分析棒和環(huán)的運動情況，知道棒和環(huán)的運動時間相等，再抓住位移關系求解，難度適中