Question

18．我國的“天鏈一號”衛(wèi)星是地球同步衛(wèi)星，可為中低軌道衛(wèi)星提供數(shù)據(jù)通訊，如圖為“天鏈一號”衛(wèi)星a、赤道平面內(nèi)的低軌道衛(wèi)星b、地球的位置關(guān)系示意圖，O為地心，地球相對衛(wèi)星a、b的張角分別為θ₁和θ₂（θ₂圖中未標(biāo)出），衛(wèi)星a的軌道半徑是b的4倍，己知衛(wèi)星a、b繞地球同向運(yùn)行，衛(wèi)星a的周期為T，在運(yùn)行過程中由于地球的遮擋，衛(wèi)星b會進(jìn)入衛(wèi)星a通訊的盲區(qū)，衛(wèi)星間的通訊信號視為沿直線傳播，信號傳輸時間可忽略．下列分析正確的是（　　）

• A． 張角θ₁和θ₂滿足sinθ₂=4sinθ₁
• B． 衛(wèi)星a與衛(wèi)星b運(yùn)動的加速度之比4：1
• C． 衛(wèi)星b每次在盲區(qū)運(yùn)行的時間$\frac{（{θ}_{1}+{θ}_{2}）T}{14π}$
• D． 衛(wèi)星a運(yùn)行一周將與地心及衛(wèi)星b共線14次

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求解張角θ₁和θ₂滿足的關(guān)系，由萬有引力提供向心力，列式求解衛(wèi)星b的周期．衛(wèi)星間的通訊信號視為沿直線傳播，由幾何關(guān)系得到衛(wèi)星b在盲區(qū)有兩個邊緣相對于地球的張角，再求解在盲區(qū)運(yùn)行的時間．

解答 解：A、設(shè)衛(wèi)星a、b的軌道半徑分別為${r}_{1}^{\;}$和${r}_{2}^{\;}$，地球半徑為R，
由幾何關(guān)系得$sin\frac{{θ}_{1}^{\;}}{2}=\frac{R}{{r}_{1}^{\;}}$，$sin\frac{{θ}_{2}^{\;}}{2}=\frac{R}{{r}_{2}^{\;}}$
由題${r}_{1}^{\;}=4{r}_{2}^{\;}$，則得$4sin\frac{{θ}_{1}^{\;}}{2}=sin\frac{{θ}_{2}^{\;}}{2}$，由數(shù)學(xué)知識$sin{θ}_{2}^{\;}≠4sin{θ}_{1}^{\;}$，故A錯誤；
B、根據(jù)向心加速度$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，得$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{1}{16}$，故B錯誤；
C、如圖，a、b是衛(wèi)星盲區(qū)兩個邊緣位置，由幾何知識可得$∠AOB={θ}_{1}^{\;}+{θ}_{2}^{\;}$，則$（\frac{2π}{\frac{T}{8}}-\frac{2π}{T}）t=∠AOB={θ}_{1}^{\;}+{θ}_{2}^{\;}$，解得，b每次在盲區(qū)運(yùn)行的時間為$t=\frac{（{θ}_{1}^{\;}+{θ}_{2}^{\;}）}{14π}T$，故C正確；
D、根據(jù)$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，則周期之比為$\frac{{T}_{a}^{\;}}{{T}_^{\;}}=\sqrt{\frac{{4}_{\;}^{3}}{{1}_{\;}^{3}}}=8$
設(shè)每隔時間t，a、b共線一次，$（{ω}_^{\;}-{ω}_{a}^{\;}）t=π$，所以$t=\frac{π}{{ω}_^{\;}-{ω}_{a}^{\;}}$=$\frac{{T}_{a}^{\;}{T}_^{\;}}{2（{T}_{a}^{\;}-{T}_^{\;}）}$
則故b運(yùn)動一周的過程中，衛(wèi)星a運(yùn)行一周將與地心及衛(wèi)星b共線的次數(shù)為：
$n=\frac{{T}_{a}^{\;}}{t}$=$\frac{2（{T}_{a}^{\;}-{T}_^{\;}）}{{T}_^{\;}}=14$，故D正確；
故選：CD

點(diǎn)評 本題既要掌握衛(wèi)星問題的基本思路：萬有引力提供向心力，更重要的是畫出示意圖，運(yùn)用幾何知識解答．