Question

如圖甲所示，兩塊相同的平行金屬板M、N正對(duì)著放置，相距為，板M、N上的小孔s₁、s₂與O三點(diǎn)共線，s₂O=R，連線s₁O垂直于板M、N。以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。收集屏PQ上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離都為2R，兩端點(diǎn)P、Q關(guān)于連線s₁O對(duì)稱(chēng)，屏PQ所對(duì)的圓心角θ=120°。質(zhì)量為m、電荷量為e的質(zhì)子連續(xù)不斷地經(jīng)s₁進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)，接著通過(guò)s₂進(jìn)入磁場(chǎng)。質(zhì)子重力及質(zhì)子間的相互作用均不計(jì)，質(zhì)子在s1處的速度看作零。
（1）若M、N間的電壓U_MN=+U時(shí)，求質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小。
（2）若M、N間接入如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的電壓（式中，周期T已知），且在質(zhì)子通過(guò)板間電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)板間電場(chǎng)視為恒定，則質(zhì)子在哪些時(shí)刻自s₁處進(jìn)入板間，穿出磁場(chǎng)后均能打到收集屏PQ上？
（3）在上述（2）問(wèn)的情形下，當(dāng)M、N間的電壓不同時(shí)，質(zhì)子從s₁處到打在收集屏PQ上經(jīng)歷的時(shí)間t會(huì)不同，求t的最大值。

Answer 1

解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，有
 
（2）質(zhì)子在板間運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理，有
質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，有
若質(zhì)子能打在收集屏上，軌道半徑r與半徑R應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系：
解得板間電壓
結(jié)合圖象可知：質(zhì)子在…（，1，2，…）之間任一時(shí)刻從s₁處進(jìn)入電場(chǎng)，均能打到收集屏上

（3）M、N間的電壓越小，質(zhì)子穿出電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度越小，質(zhì)子在極板間經(jīng)歷的時(shí)間越長(zhǎng)，同時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑越小，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也會(huì)越長(zhǎng)，出磁場(chǎng)后打到收集屏前作勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越長(zhǎng)，所以當(dāng)質(zhì)子打在收集屏的P端時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)間t最長(zhǎng)，兩板間的電壓此時(shí)為
在板間電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間
出磁場(chǎng)后打到收集屏前作勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
所以，運(yùn)動(dòng)總時(shí)間
或t