Question

3．如圖，平行長直光滑金屬導軌水平放置且足夠長，導軌間距為l，一阻值為R的電阻接在軌道一端，整個導軌處于垂直紙面的勻強磁場中，磁感應強度大小為B，一根質量為m的金屬桿置于導軌上，與導軌垂直并接觸良好．現(xiàn)對桿施加一個水平恒力F，使金屬桿從靜止開始運動，當桿的速度達到最大值v_m，立刻撤去水平恒力F，忽略金屬桿與導軌的電阻，不計摩擦．
（1）定性畫出金屬桿整個運動過程的v-t圖象；
（2）求金屬桿的最大速度v_m；
（3）撤去恒力F后，金屬桿還能滑行的距離．

Answer 1

分析 （1）對桿受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式分析加速度的變化情況，從而得到v-t圖象；
（2）由（1）中分析得到加速度的表達式，加速度等于零時速度最大；
（3）撤去F后受到的合力為安培力，做減速運動，根據(jù)動量定理列式求解．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律有：F-F_安=ma
F_安=BIl
$I=\frac{E}{R}$
E=Blv
聯(lián)立解得：a=$\frac{F}{m}-\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{mR}$，可知速度增大時，加速度減小，即做加速度逐漸減小的加速運動，當a=0時速度最大，
撤去水平恒力F后，根據(jù)牛頓第二定律有：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R}=ma$
受到的安培力與速度方向相反，可知做減速運動，加速度減小，畫出v-t圖如圖所示，

（2）在（1）中，當加速度a=0時，有：$\frac{F}{m}-\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{m}}{mR}=0$
解得：${v_m}=\frac{FR}{{{B^2}{l^2}}}$
（3）由動量定理可知：BIl△t=mv₂-mv₁
對安培力的沖量求和可知：$\sum BIl△t=0-m{v_m}$
$q=\sum I△t$
設金屬棒還能滑行的距離為x，
根據(jù)法拉第電磁感應定律：$E=\frac{△φ}{△t}=\frac{BLx}{△t}$
由$I=\frac{E}{R}$，$I=\frac{△q}{△t}$
由聯(lián)立可得：$q=\frac{△φ}{R}=\frac{BLx}{R}$
聯(lián)立解得：$x=\frac{{mF{R^2}}}{{{B^4}{l^4}}}$
答：（1）如圖所示，
（2）金屬桿的最大速度為$\frac{FR}{{B}^{2}{l}^{2}}$；
（3）撤去水平恒力F后，金屬桿還能滑行距離為$\frac{mF{R}^{2}}{{B}^{4}{l}^{4}}$．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律、法拉第感應定律的綜合應用，主要根據(jù)牛頓第二定律得到加速度的表達式，進而得到金屬棒運動情況，注意安培力為變力時求解位移的方法．