Question

5．如圖所示，豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系xOy把空間分成四個(gè)區(qū)域，一絕緣帶孔彈性擋板放置在x軸，某一端與坐標(biāo)系O點(diǎn)重合，擋板上的小孔M距0點(diǎn)距離l₁=9m，在y軸上的N點(diǎn)有一開口的小盒子，小盒子的中心距O點(diǎn)的距離l₂=3m，空間中I、Ⅲ、Ⅳ象限存在豎直向上的勻強(qiáng)電場．小孔M正上方高為h處有一直徑略小于小孔寬度的帶正電小球（視為質(zhì)點(diǎn)），其質(zhì)量m=1.0×10^-3kg，電荷量q=1.0×10^-3C，若h=0.8m，某時(shí)刻釋放帶電小球．經(jīng)t=0.55s小球到達(dá)小孔正下方l₃=0.6m的S點(diǎn)（S未畫出），不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求小球運(yùn)動(dòng)到小孔M時(shí)速度的大小；
（2）求電場強(qiáng)度E的大��；
（3）若在空間中Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限再加一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，B=1T，適當(dāng)改變h為合適的一些數(shù)值，其他條件不變，小球仍由靜止釋放，小球通過小孔后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，小球與擋板相碰以原速度反彈，碰撞時(shí)間不計(jì)，碰撞電量不變，如果小球最后都能落入盒子的中心處，求h的可能值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的公式求到達(dá)小孔時(shí)的速度
（2）小球受力分析，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，求出a=0，即小球勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡求E
（3）小球在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，求出各種可能的軌跡，求出半徑、速度，進(jìn)而求出高度．

解答 解：（1）小球釋放做自由落體運(yùn)動(dòng)有：$h=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}，v=g{t}_{1}^{\;}$
解得：${t}_{1}^{\;}=0.4s$，v=4m/s
（2）小球進(jìn)入電場后在重力和電場力作用下做直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，根據(jù)題意有：
${L}_{3}^{\;}=v{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
其中${t}_{2}^{\;}=t-{t}_{1}^{\;}$=0.15s
解得：a=0
表明小球進(jìn)入電場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故有：
qE=mg
解得：E=10V/m
（3）加上 勻強(qiáng)磁場后，小球進(jìn)入復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球進(jìn)入復(fù)合場的速度垂直擋板，做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心x軸上，如果與擋板相碰，其軌跡前面部分是半圓，且圓的半徑R≥3m（因${L}_{2}^{\;}=3m$），R越小，小球碰撞次數(shù)越多，設(shè)經(jīng)n次碰撞后小球達(dá)到N點(diǎn)．
所以$n•2R≤{L}_{1}^{\;}$，n•2R≤9
解得n≤1.5，即取n=0、1所以小球從小孔到盒子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡可能有下列三種情況，由幾何知識得：
 甲圖  $（{L}_{1}^{\;}-{R}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}+{L}_{2}^{2}={R}_{1}^{2}$ 
代入數(shù)據(jù)解得：${R}_{1}^{\;}=5m$
乙圖   $3{R}_{2}^{\;}={L}_{1}^{\;}$  
代入數(shù)據(jù)解得：${R}_{2}^{\;}=3m$
丙圖$（3{R}_{3}^{\;}-{L}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}+{L}_{2}^{2}={R}_{3}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：${R}_{3}^{\;}=3.75m$
根據(jù)$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，${v}_{\;}^{2}=2gh$
分別代入上述數(shù)據(jù)解得：${h}_{1}^{\;}=1.25m，{h}_{2}^{\;}=0.45m，{h}_{3}^{\;}=0.70m$
答：（1）求小球運(yùn)動(dòng)到小孔M時(shí)速度的大小4m/s；
（2）求電場強(qiáng)度E的大小10V/m；
（3）若在空間中Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限再加一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，B=1T，適當(dāng)改變h為合適的一些數(shù)值，其他條件不變，小球仍由靜止釋放，小球通過小孔后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，小球與擋板相碰以原速度反彈，碰撞時(shí)間不計(jì)，碰撞電量不變，如果小球最后都能落入盒子的中心處，求h的可能值1.25m，0.45m，0.70m．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的問題，前兩問較基礎(chǔ)，第三問分析粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)的可能情況要分析到位，對學(xué)生的能力要求較高．