Question

17．如圖所示，將直徑為 2R的半圓形導軌固定 在豎直面內的A、B兩 點，直徑AB與豎直方 向的夾角為60°．在 導軌上套一質量為m的小圓環(huán)，原長為2R、勁度系數(shù)k=$\frac{mg}{3R}$的彈性輕繩穿過圓環(huán)且固定在A、B兩點．知彈性輕繩滿足胡克定律，且形變量為x時具有彈性勢能E_P=$\frac{1}{2}$kx²，重力加速度為g，不計一切摩擦．將圓環(huán)由A點正下方的C 點靜止釋放，當圓環(huán)運動到導軌的最低點D 點時，求：
 （1）圓環(huán)的速率v； 
（2）導軌對圓環(huán)的作用力F的大�。�

Answer 1

分析 （1）從C到D過程，由機械能守恒定律可以求出圓環(huán)的速度；
（2）圓環(huán)做圓周運動，由牛頓第二定律可以求出在D點軌道對圓環(huán)的作用力．

解答 解：（1）如圖所示，由幾何知識得，圓環(huán)在C點、D點時，彈性繩形變量相同，彈性勢能相等．
圓環(huán)從C到D過程中，由機械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由幾何關系可知：h=$\frac{R}{2}$，
解得v=$\sqrt{gR}$
（2）圓環(huán)在D點受力如圖，彈性繩的彈力：
f=kx，其中：x=$（\sqrt{3}-1）R$
在D點，由牛頓第二定律得：
F+fcos60°+fsin60°-mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得F=$\frac{4mg}{3}$．
答：（1）圓環(huán)的速率v為$\sqrt{gR}$；
（2）導軌對圓環(huán)的作用力F的大小為$\frac{4mg}{3}$．

點評 本題考查了求圓環(huán)的速率、軌道對圓環(huán)的作用力，應用機械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；本題的難點，也是本題解題的關鍵是：應用數(shù)學知識氣促C、D兩點間的高度差、求出彈性繩的形變量．