Question

16．如圖所示，在光滑的水平地面的左端連接一半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓形固定軌道，在水平面質(zhì)量為M=3m的小球Q連接著輕質(zhì)彈簧，處于靜止狀態(tài)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球P從B點正上方h=R高處由靜止釋放，求：
（1）小球P到達圓形軌道最低點C時的速度大小和對軌道的壓力；
（2）在小球P壓縮彈簧的過程中，彈簧具有的最大彈性勢能；
（3）若球P從B上方高H處釋放，恰好使P球經(jīng)彈簧反彈后能夠回到B點，則高度H的大�。�

Answer 1

分析 （1）小球P從A運動到C的過程，根據(jù)機械能守恒求解速度，在最低點C處，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合牛頓第三定律求解；
（2）彈簧被壓縮過程中，當兩球速度相等時，彈簧具有最大彈性勢能，以向右為正，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒結(jié)合機械能守恒定律列式求解；
（3）球P從B上方高h處釋放，根據(jù)動能定理求出到達水平面的速度，彈簧被壓縮后再次恢復到原長得過程中，根據(jù)動量守恒定律以及機械能守恒定律列式，P球經(jīng)彈簧反彈后恰好回到B點得過程中，根據(jù)動能定理列式，聯(lián)立方程求解．

解答 解：（1）小球P從A運動到C的過程，根據(jù)機械能守恒得：
$mg（h+R）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，又h=R，
解得：${v}_{C}=2\sqrt{gR}$
在最低點C處，根據(jù)牛頓第二定律得：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：F_N=5mg，
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球P對軌道的壓力大小為5mg，方向豎直向下，
（2）彈簧被壓縮過程中，當兩球速度相等時，彈簧具有最大彈性勢能，以向右為正，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒得：
mv_C=（m+M）v，
根據(jù)機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}={E}_{P}+\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}$
聯(lián)立解得：${E}_{P}=\frac{3}{2}mgR$
（3）球P從B上方高h處釋放，到達水平面速度為v₀，則有：
mg（H+R）=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
彈簧被壓縮后再次恢復到原長時，設小球P和Q的速度大小分別為v₁和v₂，根據(jù)動量守恒定律有：
mv₀=-mv₁+Mv₂
根據(jù)機械能守恒定律有$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}$，
要使P球經(jīng)彈簧反彈后恰好回到B點，則有mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
聯(lián)立解得：H=3R
答：（1）小球P到達圓形軌道最低點C時的速度大小為$2\sqrt{gR}$，對軌道的壓力大小為5mg，方向豎直向下；
（2）在小球P壓縮彈簧的過程中，彈簧具有的最大彈性勢能為$\frac{3}{2}mgR$；
（3）若球P從B上方高H處釋放，恰好使P球經(jīng)彈簧反彈后能夠回到B點，則高度H的大小為3R．

點評 本題主要考查了動量守恒定律、機械能守恒定律以及動能定理的直接應用，注意在應用動量守恒定律解題時要規(guī)定正方向，注意使用動能定理解題時要選好研究過程，難度適中．