Question

11．如圖所示，半徑R=1.0m的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個端點B和圓心O的連線與水平方向間的夾角θ=37°，另一端點C為軌道的最低點，其切線水平．C點右側(cè)的光滑水平面上緊挨C點靜止放置一木板，木板質(zhì)量M=3kg，上表面與C點等高．質(zhì)量為m=1kg的物塊（可視為質(zhì)點）從空中A點以v₀=2.4m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道．已知物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ=0.4，取g=10m/s²，sin37°=0.6．求：
（1）物體到達B點時的速度大小v_B；
（2）物塊經(jīng)過C點時對軌道的壓力；
（3）木板長度滿足什么條件，才能使物塊不滑離木板．

Answer 1

分析 1、物塊從A到B做平拋運動，由平拋規(guī)律可求得B點的速度；由機械能守恒可求得C點的速度；
2、由向心力公式可求得物塊在C點受到的支持力，由牛頓第三定律可求得對軌道的壓力；
3、由牛頓第二定律可求得物塊和木板的加速度，要使物塊不掉下去，兩物體最后應(yīng)達到相同速度并且剛好到達最右端，由運動學(xué)公式可求得木板的長度．

解答 解：（1）設(shè)物體經(jīng)過B點的速度為v_B，則由平拋運動的規(guī)律可得：
v_Bsin37°=v₀
解得：v_B=4m/s
（2）設(shè)物體經(jīng)過C點的速度為v_C，由機械能守恒得：
$\frac{1}{2}$mv_B²+mg（R+Rsin37°）=$\frac{1}{2}$mv_C²
解得：v_C=4$\sqrt{3}$m/s；
根據(jù)牛頓第二定律得
F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F_N=58N，
由牛頓第三定律可求得物塊經(jīng)過C點時對軌道的壓力大小是58N，方向豎直向下．
（3）物塊在木板上滑動時，設(shè)物塊和木板的加速度大小分別為a₁、a₂，
則：μ₁mg=ma₁
μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂
解得：a₁=4m/s²，a₂=$\frac{4}{3}$m/s²，
設(shè)物塊和木板經(jīng)過時間t達到共同速度V，其位移分別為X₁、X₂，則：
對物塊：V=V_C-a₁t
對木板：V=a₂t
設(shè)木板長度至少為L
時間t內(nèi)物塊的位移：X₁=$\frac{{v}_{C}+v}{2}$t
時間t內(nèi)木板的位移：X₂=$\frac{vt}{2}$
由題意得：L≥X₁-X₂=4.5m
即木板長度至少4.5m才能使物塊不從木板上滑下．
答：（1）物體到達B點時的速度大小是4m/s；
（2）物塊經(jīng)過C點時對軌道的壓力大小是58N，方向豎直向下；
（3）木板長度至少4.5m才能使物塊不滑離木板．

點評 本題將平拋、圓周運動及能量守恒定律結(jié)合在一起考查，注意分析運動過程，并根據(jù)過程正確的選擇物理規(guī)律求解．掌握牛頓第二定律和運動學(xué)公式求出相對運動的位移大�。�