Question

15．在地面上方，一小圓環(huán)A套在一條均勻直桿B上，A和B的質(zhì)量均為m，若它們之間發(fā)生相對滑動時，會產(chǎn)生f=0.5mg的摩擦力．開始時A處于B的最下端，B豎直放置，在A的下方h=0.2m處，存在一個“相互作用”區(qū)域C，區(qū)域C的高度d=0.30m，固定在空中如圖中劃有虛線的部分，當A進入?yún)^(qū)域C時，A就受到方向向上的恒力F作用．F=2mg，區(qū)域C對桿B不產(chǎn)生作用力．A和B一起由靜止開始下落，已知桿B落地時A和B的速度相同．不計空氣阻力，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A在相互作用區(qū)域內(nèi)，A、B的加速度？
（2）A剛離開作用區(qū)域時，A、B的速度？
（3）桿B的長度L至少應為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律分別求出在相互作用區(qū)域內(nèi)，A、B的加速度大小．
（2）根據(jù)速度位移公式求出下落h時的速度，根據(jù)速度位移公式求出A離開相互作用區(qū)域時的速度，結(jié)合速度時間公式求出A在相互作用區(qū)域內(nèi)的時間，從而結(jié)合速度時間公式求出B的速度．
（3）在相互作用區(qū)域，根據(jù)牛頓第二定律求解出兩個物體的加速度，根據(jù)位移時間關系公式和速度時間關系公式求解出離開相互作用區(qū)域的時間和速度，得到相對位移；此后再次根據(jù)牛頓第二定律求解出兩個物體的加速度，根據(jù)位移時間關系公式和速度時間關系公式求解出最終同速時的相對位移；最后加上兩個相對位移即可．

解答 解：（1）以A為研究對象有：F-mg-f=ma_A
代入數(shù)據(jù)解得：a_A=5m/s²
方向豎直向上．
以B為研究對象：mg-f=ma_B
代入數(shù)據(jù)解得a_B=5m/s²，方向豎直向下．
（2）下落h時速度為V₀，則有：V₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.2}$m/s=2m/s
根據(jù)V_A²=V₀²-2a_Ad 代入數(shù)據(jù)解得：V_A=1m/s
t₁=$\frac{{{V_0}-{V_A}}}{a_A}$=$\frac{2-1}{5}s$=$\frac{1}{5}$s          
則V_B=V₀+a_Bt₁=$2+5×\frac{1}{5}$m/s=3m/s
（3）B在t₁內(nèi)下落高度為h_B：h_B=$\frac{{{V_0}+{V_B}}}{2}{t_1}$=$\frac{2+3}{2}×\frac{1}{5}$m=0.5m
所以 A相對B的位移為：△x₁=h_B-d=0.5-0.3m=0.2m
A出作用區(qū)域后：加速度a′_A=$\frac{mg+f}{m}$=15m/s²
B的加速度不變，當速度相同時：有V_A+a_A′t₂=V_B+a_Bt₂
代入數(shù)據(jù)解得t₂=0.2s
相同速度為：V=V_A+a′_At₂=1+15×0.2m/s=4m/s
在t₂時間內(nèi)：h_A′=$\frac{{{V_A}+V}}{2}{t_2}$=$\frac{1+4}{2}×0.2m$=0.5m      
h_B′=$\frac{{{V_B}+V}}{2}{t_2}$=$\frac{3+4}{2}×0.2$m=0.7m
A相對B的位移為：△x₂=h_B′-h_A′=0.2m   
即桿的長度L=△x₁+△x₂=0.4m
答：（1）A在相互作用區(qū)域內(nèi)，A、B的加速度分別為5m/s²、方向向上，5m/s²，方向向下．
（2）A剛離開作用區(qū)域時，A、B的速度分別為1m/s、3m/s．
（3）桿B的長度L至少應為0.4m．

點評 本題首先要根據(jù)兩物體的受力情況，分析運動情況，其次運用牛頓第二定律、運動學公式解決勻變速直線運動，要注意尋找兩物體之間的關系，比如速度相同，運動的同時性等．