Question

20．如圖所示，可視為質(zhì)點的、質(zhì)量為m的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑圓形細(xì)管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，下列有關(guān)說法中正確的是（　�。�

• A． 小球能夠通過最高點時的最小速度為0
• B． 小球能夠通過最高點時的最小速度為$\sqrt{gR}$
• C． 如果小球經(jīng)過最高點時的速度從$\frac{{\sqrt{gR}}}{2}$逐漸變大，則此時小球?qū)�管道作用力也逐漸變大
• D． 如果小球在最低點時的速度大小為$\sqrt{5gR}$，則此時小球?qū)�管道外壁的壓力�?mg

Answer 1

分析 圓形管道內(nèi)能支撐小球，小球能夠通過最高點時的最小速度為0．小球在最高點時的速度大小為$\sqrt{gR}$時，小球?qū)�管道沒有作用力．在最低點時的速度大小為$\sqrt{5gR}$時，同樣根據(jù)牛頓第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．

解答 解：A、B、圓形管道內(nèi)能支撐小球，小球能夠通過最高點時的最小速度為0，故A正確，B錯誤；
C、當(dāng)在最高點小球與管道沒有作用力時，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$，
當(dāng)小球是速度小于$\sqrt{gR}$時，需要的向心力比較小，所以管道對小球有向上的支持力，速度越小，管道對小球的支持力越大，所以如果小球經(jīng)過最高點時的速度從$\frac{{\sqrt{gR}}}{2}$逐漸變大，則此時小球?qū)�管道作用力將先減�。�故C錯誤；
D、如果小球在最低點時的速度大小為$\sqrt{5gR}$，在最低點重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mg+m$\frac{5gR}{R}$=6mg；
根據(jù)牛頓第三定律，球?qū)�管道外壁的壓力大小�?mg；故D正確；
故選：AD．

點評 本題中圓管模型與輕桿模型相似，抓住兩個臨界條件：一是小球恰好到達(dá)最高點時，速度為零；二是小球經(jīng)過最高點與管道恰好無作用力時速度為$\sqrt{gR}$．