Question

13．如圖所示，一質(zhì)量為m的小球，在半徑為R光滑軌道上，使其在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)
（1）若過小球恰好能通過最高點(diǎn)，則小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度分別是多少？小球的受力情況分別如何？
（2）若小球在最低點(diǎn)受到軌道的彈力為8mg，則小球在最高點(diǎn)的速度及受到軌道的彈力是多少？

Answer 1

分析 （1）小球小球恰好能通過最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的彈力為零，靠重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過最高點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒定律求出最低點(diǎn)的速度．在最低點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球的支持力．
（2）在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律求得小球的速度，再由機(jī)械能守恒定律求小球在最高點(diǎn)的速度，并由牛頓第二定律求小球受到軌道的彈力．

解答 解：（1）小球恰好能通過最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的彈力為零，小球只受重力，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得，小球通過最高點(diǎn)的速度為 v₁=$\sqrt{gR}$
設(shè)小球通過最低點(diǎn)的速度為v₂．由機(jī)械能守恒定律有
   2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
可得 v₂=$\sqrt{5gR}$
小球在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得 N=6mg
所以小球在最低點(diǎn)時(shí)受到重力mg和軌道的支持力，大小為6mg．
（2）若小球在最低點(diǎn)受到軌道的彈力為8mg，設(shè)小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)的速度分別為v₃和v₄．
在最低點(diǎn)，有 8mg-mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$
可得 v₃=$\sqrt{7gR}$
由機(jī)械能守恒定律得
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$
解得 v₄=$\sqrt{3gR}$
在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得 mg+F=m$\frac{{v}_{4}^{2}}{R}$
解得：軌道對(duì)小球的彈力 F=2mg
答：
（1）小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度分別是$\sqrt{gR}$和$\sqrt{5gR}$，小球在最高點(diǎn)時(shí)只受重力，小球在最低點(diǎn)時(shí)受到重力mg和軌道的支持力，大小為6mg．
（2）小球在最高點(diǎn)的速度是$\sqrt{3gR}$，受到軌道的彈力是2mg．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道在最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力，知道小球通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，由合力充當(dāng)向心力，運(yùn)用牛頓第二定律可求速度．