Question

20．在桌面上有一倒立的玻璃圓錐，其頂點恰好與桌面接觸，圓錐的軸（圖中虛線）與桌面垂直，過軸線的截面是邊長為a的等邊三角形，如圖所示．有一半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的底面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合．已知玻璃的折射率n=$\sqrt{2}$，光在空氣中的傳播速度為c．求：
（i）光束在桌面上形成的光斑半徑R；
（ii）光束在玻璃中傳播的時間t．

Answer 1

分析 （i）平行光束垂直入射到圓錐的底面上，方向不變射到母線上發(fā)生折射，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率為1.5，可得臨界角小于45°，所以會發(fā)生光的全反射，反射光線卻恰好垂直射出．故可根據(jù)幾何關(guān)系可確定光斑的半徑光束在桌面上形成的光斑半徑R；
（ii）根據(jù)幾何知識求光束在玻璃中傳播的距離，由n=$\frac{c}{v}$ 求出光束在玻璃中傳播的速度，從而求得光束在玻璃中傳播的時間t．

解答 解：（i）設(shè)玻璃的臨界角為C，根據(jù)$sinC=\frac{1}{n}$…①
得：C=45°…②
光線垂直圓錐底面BC射入玻璃時，直線傳到AB面．由幾何關(guān)系可知入射角 i=60°
由于i=60°＞C=45°，所以光線會在AB面上發(fā)生全反射…③
光路如圖，由幾何關(guān)系知，反射光線恰好垂直AC面射出…④
由幾何關(guān)系可知：AE=2r，在△AEG中，由于∠AEG=∠AGE=30°，則AG=AE=2r…⑤
所以，由旋轉(zhuǎn)對稱性可知光束在桌面上形成的光斑半徑R=2r…⑥
（ii）由于△AEH為等邊三角形，所以EF=AN，故光線在玻璃中的傳播距離始終為L=DE+EF=MN+AN=AM=asin60°…⑦

其余入射點的光線在玻璃中的傳播距離類似證明均為L，
光線在玻璃中的傳播時間 t=$\frac{L}{v}$…⑧
而n=$\frac{c}{v}$…⑨
聯(lián)立解得$t=\frac{nasin60°}{c}=\frac{{\sqrt{6}a}}{2c}$…⑩
另解：（ii）如圖，經(jīng)過任意入射點P的光線在玻璃中的傳播傳播路徑為PQS，由于△AQT為等邊三角形，所以QS=AJ，故光線在玻璃中的傳播距離始終為
L=PQ+QS=MJ+AJ=AM=asin60°  ⑦
光線在玻璃中的傳播時間t=$\frac{L}{v}$   ⑧，而n=$\frac{c}{v}$ ⑨
聯(lián)立解得 $t=\frac{nasin60°}{c}=\frac{{\sqrt{6}a}}{2c}$ ⑩
答：
（i）光束在桌面上形成的光斑半徑R是2r；
（ii）光束在玻璃中傳播的時間t是$\frac{\sqrt{6}a}{2c}$．

點評 本題關(guān)鍵之處是借助于光的折射與反射定律作出光路圖，同時能靈活利用幾何關(guān)系來輔助計算．