Question

5．在現(xiàn)代科學實驗和技術(shù)設(shè)備中，可以通過施加適當?shù)碾妶�、磁場來改變或控制帶電粒子的運動．現(xiàn)用電場或磁場來控制質(zhì)量為m、電荷量為q的正電荷的運動．如圖1所示，在xOy平面內(nèi)有一點P，OP與x軸夾角θ=45°，且OP=l，不計電荷的重力．

（1）若該電荷以速度v₀從O點沿x軸正方向射出，為使電荷能夠經(jīng)過P點，
a．若在整個空間只加一平行于y軸方向的勻強電場，求電場強度E的大小和方向；
b．若在整個空間只加一垂直于xOy平面的勻強磁場，求磁感應強度B的大小和方向．
（2）若整個空間同時存在（1）中的電場和磁場，某時刻將該電荷從O點由靜止釋放，該電荷能否再次回到O點？請你在圖2中大致畫出電荷的運動軌跡．

Answer 1

分析 （1）a．根據(jù)類平拋運動的位移公式求得加速度的，進而得到電場強度；
b．根據(jù)電荷做圓周運動的軌跡得到半徑，進而由洛倫茲力做向心力求得磁感應強度．
（2）將電荷運動分解成兩部分，其中一部分的洛倫茲力等于電場力，使電荷做勻速直線運動，另外一部分則只受洛倫茲力做圓周運動，即可根據(jù)運動的合成求得運動軌跡．

解答 解：（1）a、電荷在電場中做類平拋運動，電荷要運動到P 點，則電場方向為y 軸負向；
由圖可知水平方向位移為：$x=lcos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}l$
豎直方向位移為：$y=lsin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}l$；
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{qE{x}^{2}}{2m{{v}_{0}}^{2}}$
所以有：$E=\frac{2my{{v}_{0}}^{2}}{q{x}^{2}}=\frac{2\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{ql}$；
b、空間中存在磁場，則正電荷在其中僅受洛倫茲力做圓周運動，由初速度方向及落點，可得正電荷在磁場中運動軌跡如圖所示，
所以，磁感應強度方向方向垂直xOy 平面向外；且電荷做圓周運動的半徑為：$R=\frac{\sqrt{2}}{2}l$；
由洛倫茲力做向心力，可得：$B{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：$B=\frac{m{v}_{0}}{qR}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{ql}$；
（2）空間存在沿y 軸負方向的勻強電場E 和垂直xOy 平面向外的勻強磁場B．
物體初始處于靜止狀態(tài)，可以看作是水平向左的速度v 與水平向右的速度v 的合成．若令$v=\frac{E}{B}$，則電荷之后的運動可以看作是水平向左的速度v 引起的運動，與水平向右的速度v 引起的運動的合成．其中對于水平向左的速度v，對應的洛倫茲力 f=qvB=qE，方向豎直向上，剛好與電場力平衡，因此該分運動是向左的勻速直線運動．
對于水平向右的初速度v，受到洛倫茲力，產(chǎn)生的是順時針方向的勻速圓周運動．
因此，電荷的運動是向左的勻速直線運動和順時針方向的勻速圓周運動的合成，運動軌跡大致如圖（此軌跡可以證明是一條擺線）．故電荷不能回到O 點．
答：（1）若該電荷以速度v₀從O點沿x軸正方向射出，為使電荷能夠經(jīng)過P點，
a．若在整個空間只加一平行于y軸方向的勻強電場，則電場強度E的大小為$\frac{2\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{ql}$，方向：沿y 軸負向；
b．若在整個空間只加一垂直于xOy平面的勻強磁場，則磁感應強度B的大小為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{ql}$，方向：垂直xOy 平面向外．
（2）若整個空間同時存在（1）中的電場和磁場，某時刻將該電荷從O點由靜止釋放，該電荷不能再次回到O點．

點評 帶電粒子的運動問題，一般先對粒子進行受力分析求得合外力，然后由牛頓第二定律求得加速度，再根據(jù)幾何關(guān)系求解粒子的運動問題．