Question

如圖所示，在真空區(qū)域內(nèi)，有寬度為L的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，磁場方向垂直紙面向里，MN、PQ是磁場的邊界．質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子，先后兩次沿著與MN夾角為θ（0＜θ＜90°）的方向垂直磁感線射入勻強磁場B中，第一次，粒子是經(jīng)電壓U₁加速后射入磁場，粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場．第二次粒子是經(jīng)電壓U₂加速后射入磁場，粒子則剛好垂直PQ射出磁場．不計重力的影響，粒子加速前速度認為是零，求：加速電壓

U1

U2

的值．

Answer 1

分析：畫出粒子在磁場中運動的軌跡，由幾何知識求出軌跡的半徑．帶電粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出速度，再根據(jù)動能定理研究粒子在電場中加速過程，即可求出加速電壓及加速電壓之比．

解答：解：經(jīng)電壓U₁加速后粒子射入磁場后剛好不能從PQ邊界射出磁場，表明在磁場中做勻速圓周運動的軌跡與PQ邊界相切，要確定粒子做勻速圓周運動的圓心O的位置，如圖甲所示，圓半徑R₁與L的關(guān)系式為：L=R1+R1cosθ，R1=

L

1+cosθ

又  qv1B=

m v 2 1

R

解得v1=

BqL

m(1+cosθ)

經(jīng)電壓U₂加速后以速度v₂射入磁場，粒子剛好垂直PQ射出磁場，可確定粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在PQ邊界線的O點，如圖乙所示，半徑R₂與磁場寬L的關(guān)系式為  R2=

L

cosθ

又qv2B=

m v 2 2

R

解得v2=

BqL

mcosθ

在加速電場中，根據(jù)動能定理得  U1q=

1

2

m

v

2 1

  U2q=

1

2

m

v

2 2

所以

U1

U2

=

v 2 1

v 2 2

=

cos2θ

(1+cosθ)2

答：加速電壓

U1

U2

的值等于

cos2θ

(1+cosθ)2

．

點評：本題中帶電粒子先加速后在磁場中偏轉(zhuǎn)，電場中運用動能定理求解速度，在磁場中畫軌跡，由幾何知識求出半徑，都是必須掌握的常用方法．