Question

13．如圖所示，M、N為兩平行金屬板，其間電壓為U，質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，從M板由靜止開(kāi)始經(jīng)電場(chǎng)加速后，從N板上的小孔射出，并沿與ab垂直的方向由d點(diǎn)進(jìn)入△abc區(qū)域，不計(jì)粒子重力，已知bc=l，∠c=60°，∠b=90°，ad=$\frac{\sqrt{3}}{3}$l．
（1）求粒子從N板射出時(shí)的速度v₀；
（2）若abc區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使粒子不從ac邊界射出，則磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)為多大？
（3）若abc區(qū)域內(nèi)存在平行紙面且垂直bc方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，要使粒子不從ac邊界射出，電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在加速電場(chǎng)中加速時(shí)只有電場(chǎng)力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得粒子射出N時(shí)的速度大��；
（2）粒子在磁場(chǎng)作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出粒子不從ac邊射出時(shí)粒子圓周運(yùn)動(dòng)的臨界軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求得圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度多大；
（3）粒子進(jìn)入電場(chǎng)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)要求粒子不從ac邊界射出，則粒子到達(dá)ac邊界時(shí)，粒子速度方向與ac邊界平行，根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)求解即可．

解答 解：（1）帶電粒子在MN間加速，由動(dòng)能定理可得：
$qU=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-0
可得粒子從N射出時(shí)的速度v₀=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度越大，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越小，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小時(shí)，恰不從ac邊界射出粒子到達(dá)ac邊界時(shí)，速度方向沿ac方向，此時(shí)粒子不從ac邊界射出做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑為r_m
據(jù)洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$q{v}_{0}{B}_{min}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{m}}$
由幾何關(guān)系可得，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑
${r}_{m}=\frac{l}{3}tan60°$
代入解得B_min=$\frac{m{v}_{0}}{q{r}_{m}}$=$\frac{1}{l}\sqrt{\frac{6mU}{q}}$
即粒子不從ac邊界射出時(shí)滿(mǎn)足B≥$\frac{1}{l}\sqrt{\frac{6mU}{q}}$
（3）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度最小為E₀時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)到ac界面的速度方向沿ac方向，設(shè)ab和bc方向的位移大小分別為y和x，
到達(dá)界面時(shí)沿ab方向分速度大小為v_y，則
x=v₀t
$y=\frac{{v}_{y}}{2}t$
v_y=v₀tan60°
$xtan60°-\frac{\sqrt{3}}{3}l=y$
解得：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}l$
粒子到達(dá)ac邊界時(shí)的速度大小為v
v=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$
據(jù)動(dòng)能定理有：
$q{E}_{0}y=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：E₀=$\frac{3\sqrt{3}U}{l}$
所以滿(mǎn)足要求的電場(chǎng)強(qiáng)度為E≥E₀，即$E≥\frac{3\sqrt{3}U}{l}$
答：（1）粒子從N板射出時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）若abc區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使粒子不從ac邊界射出，則磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿(mǎn)足大于等于$\frac{1}{l}\sqrt{\frac{6mU}{q}}$；
（3）若abc區(qū)域內(nèi)存在平行紙面且垂直bc方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，要使粒子不從ac邊界射出，電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)滿(mǎn)足$E≥\frac{3\sqrt{3}U}{l}$．

點(diǎn)評(píng) 本題粒子先在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究；后在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)軌跡、幾何知識(shí)求出半徑是常用的方法和思路．