Question

17．云霄飛車是迪士尼游樂項目之一，其實就是一種過山車，為明白其原理特簡化成以下模型：如圖所示軌道在豎直面內(nèi)，由傾斜、圓形、水平三部分組成，其中圓形部分兩邊的是圓環(huán)，中間的是圓管，B、C、D分別是軌道的三個圓形部分的最低點，B、C間距與C、D間距相等，軌道傾斜、圓形部摩擦不計，飛車與軌道的水平部分間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，半徑R₁=2.0m、R₂=3.0m，整個軌道裝置的質(zhì)量M=4kg，固定在地面上．質(zhì)量為m=2.0kg的飛車（視為質(zhì)點，軌道圓管部分的直徑比飛車高度略大）從軌道的左側(cè)A點靜止滑下，當飛車運動到軌道的第一個圓形部分的最高點時，整個軌道對地剛好無壓力，且飛車恰好能過軌道的第二、三個圖形部分的最高點．假設水平軌道足夠長，軌道的圓形間不互相重疊．重力加速度取g=10m/s²．試求：
（1）飛車出發(fā)位置到軌道最低點的高度；
（2）B、C間距應是多少？
（3）軌道的第三個圓形部分的半徑R₃是多少；飛車最終停留點與D點的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軌道對地面恰好無壓力可明確飛車對軌道的作用點，從而明確軌道對飛車的作用力；再根據(jù)向心力公式即可明確飛車在第一個最高點的速度；再由機械能守恒定律可求得開始下落點的高度；
（2）第二個軌道為圓環(huán)，只要能到最高點即可；故臨界值為最高點的速度為零；根據(jù)動能定理可求得BC間的距離；
（3）根據(jù)臨界條件可求得小球能經(jīng)過最高點的臨界條件，由向心力公式可求得最高點的速度；再對第二個圓環(huán)最高點到靜止過程分析，由動能定理可求得最后在水平面上滑行的距離．

解答 解：（1）要使飛車到達軌道的第一個圓形部分的最高點時，整個軌道對地剛好無壓力，則說明飛車對軌道向上的壓力為F_N=Mg=4×10=40N； 則可知軌道對飛車由向下的40N的壓力； 由向心力公式可知：
mg+F_N′=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
對飛車由最高點下滑到第一個軌道的最高點過程由機械能守恒定律可知：
mg（h-2R₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²
聯(lián)立解得：h=7m；
（2）飛車恰能通過第二個圓軌道的最高點，則有：
v₂=0；
對從最高點至到達第二個軌道的最高點，由動能定理可知：
mg（h-2R₂）-μmgs=$\frac{1}{2}$mv₂²；
聯(lián)立解得：s=0.5m；
（3）飛車通過最后一個圓形最高點時，根據(jù)向心力公式有：
mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{3}}$
對從第二個軌道的最高點到三個軌道的最高點，由動能定理可知：
mg（2R₂-2R₃）-μmgs=$\frac{1}{2}$mv₃²
解得：R₃=2.36m；
對第三個軌道的最高點到最終停止過程，由動能定理可知：
μmgx=$\frac{1}{2}$mv₃²
解得：x=0.59m；
答：（1）飛車出發(fā)位置到軌道最低點的高度7m；
（2）B、C間距應是0.5m；
（3）軌道的第三個圓形部分的半徑R₃是2.36m；飛車最終停留點與D點的距離0.59m

點評 本題考查了動能定理、向心力公式等，要注意最高點臨界條件的分析，明確第二個環(huán)可以視為桿模型，而第一和第三個環(huán)應視為繩模型； 然后再靈活選擇物理過程分析求解．