Question

14．如圖，質量為m的小球（可視為質點），用長為L不可伸長的輕繩懸掛在O點，現把小球拉到與O等高的A點，繩子成伸直狀態(tài)，然后靜止釋放，小球經過最低點時速度為$\sqrt{2gL}$，求：
（1）此時小球運動的角速度和繩的拉力大小
（2）若在O點正下方$\frac{2}{3}$L處固定一枚釘子，繩碰到釘子后的瞬間小球運動
的角速度多大，繩的拉力為多大．

Answer 1

分析 （1）根據最低點時的線速度，結合線速度與角速度的關系求出小球運動的角速度，根據牛頓第二定律求出繩子的拉力．
（2）在O點正下方$\frac{2}{3}$L處固定一枚釘子，繩碰到釘子后的瞬間，小球的線速度不變，結合線速度與角速度的關系，根據半徑的變化求出角速度的大小，結合牛頓第二定律求出繩子的拉力．

解答 解：（1）小球的角速度$ω=\frac{v}{L}=\frac{\sqrt{2gL}}{L}=\sqrt{\frac{2g}{L}}$，
根據牛頓第二定律得，$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$，解得繩子的拉力F=$mg+m\frac{{v}^{2}}{L}=3mg$．
（2）在O點正下方$\frac{2}{3}$L處固定一枚釘子，繩碰到釘子后的瞬間，小球的線速度不變，小球轉動的半徑$r=\frac{1}{3}L$，
則角速度$ω′=\frac{v}{r}=\frac{\sqrt{2gL}}{\frac{L}{3}}$=$3\sqrt{\frac{2g}{L}}$，
根據牛頓第二定律得，$F′-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得繩子的拉力F′=7mg．
答：（1）此時小球運動的角速度為$\sqrt{\frac{2g}{L}}$，繩子拉力為3mg．
（2）繩碰到釘子后的瞬間小球運動的角速度為$3\sqrt{\frac{2g}{L}}$，繩子拉力為7mg．

點評 解決本題的關鍵知道小球在最低點向心力的來源，知道繩子與釘子碰撞前后瞬間速度大小不變，結合牛頓第二定律進行求解．