Question

19．如圖所示為一傳送帶裝置模型，固定斜面的傾角為θ=37°，底端經(jīng)一長度可忽略的光滑圓弧與足夠長的水平傳送帶相連接，可視為質點的物體質量m=3kg，從高h=1.2m的斜面上由靜止開始下滑，它與斜面的動摩擦因數(shù)μ₁=0.25，與水平傳送帶的動摩擦因數(shù)μ₂=0.4，已知傳送帶以υ=5m/s的速度逆時針勻速轉動，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²，不計空氣阻力．求：

（1）物體從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中與傳送帶間的摩擦生熱值；
（2）物體第一次離開傳送帶后滑上斜面，它在斜面上能達到的最大高度；
（3）從物體開始下滑到最終停止，物體在斜面上通過的總路程；（提示：物體第一次滑到傳送帶上運動一段時間以后又回到了斜面上，如此反復多次后最終停在斜面底端．）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動能定理求出物體第一次滑到斜面底端時的速度．由牛頓第二定律求出物體在傳送帶上滑行的加速度大小，由速度公式求出物體向右運動的時間，從而求物體與傳送帶間的相對位移，再求摩擦生熱．
（2）由速度公式求出物體第一次離開傳送帶時的速度，再由動能定理求它在斜面上能達到的最大高度．
（3）物體會最終停在斜面的底端．對全過程應用動能定理，可求物體在斜面上通過的總路程．

解答 解：（1）設物體第一次滑到底端的速度為υ₀，根據(jù)動能定理有：$mgh-{μ_1}mgcos37°•\frac{h}{sin37°}=\frac{1}{2}mυ_0^2$
解得：υ₀=4m/s
在傳送帶上物體的加速度大小為：$a=\frac{{{μ_2}mg}}{m}={μ_2}g=4m/{s^2}$
物體運動到傳送帶最右端時的時間為：${t_1}=\frac{υ_0}{a}=1s$
依題意物體會返回到傳送帶左端，由運動的對稱性知返回時間為t₁，則從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶經(jīng)歷的時間為：t=2t₁
物體的位移為0，物體相對傳送帶的位移即傳送帶的位移為：x=υt=υ×2t₁=10m
則摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=μ₂mgx=120J
（2）物體第一次返回到左端的速度為：υ′=at₁=4m/s=υ₀
物體以υ₀的初速度從底端沖上斜面達最大高度，設最大高度為h_m，由動能定理得：$-mg{h_m}-{μ_1}mgcos37°•\frac{h_m}{sin37°}=0-\frac{1}{2}mυ_0^2$
解得：h_m=0.6m
（3）物體會最終停在斜面的底端．對全過程應用動能定理得：mgh=μ₁mgcos37°•s
代入數(shù)據(jù)解得物體在斜面上通過的總路程為：s=6m
答：
（1）物體從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中與傳送帶間的摩擦生熱值是120J；
（2）物體第一次離開傳送帶后滑上斜面，它在斜面上能達到的最大高度是0.6m；
（3）從物體開始下滑到最終停止，物體在斜面上通過的總路程是6m．

點評 解決本題的關鍵理清物體在整個過程中的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律、運動學公式和動能定理進行求解，知道物體在傳送帶上運動的過程中，摩擦力做功的代數(shù)和為零．