Question

16．圖甲所示為兒童樂(lè)園中的滑梯，可等效為由兩段不同傾角、粗糙程度相同、底邊長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的斜面組成，其簡(jiǎn)化圖如圖乙所示，兩段不同傾角、底邊相等的斜面相關(guān)數(shù)據(jù)已經(jīng)標(biāo)注在圖乙中，若兒童在滑梯中從最高點(diǎn)由靜止下滑，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，重力加速度為g．
（1）求兒童與滑梯之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）分別求兒童在兩段滑梯上滑動(dòng)所用的時(shí)間t₁、t₂．

Answer 1

分析 （1）對(duì)兒童在滑梯上時(shí)進(jìn)行受力分析，然后對(duì)兩段斜面上的運(yùn)動(dòng)分別應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的受力分析，利用牛頓第二定律求得加速度，然后對(duì)兩段斜面上的運(yùn)動(dòng)應(yīng)用勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式即可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）兒童在滑梯上受重力、支持力、摩擦力作用，故在傾角為α的斜面上時(shí)合外力F₁=mgsinα-μmgcosα，在傾角為β的斜面上時(shí)合外力F₂=mgsinβ-μmgcosβ；
設(shè)兒童在兩斜面相接處速度為v，那么根據(jù)兒童在滑梯中從最高點(diǎn)由靜止下滑，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，由動(dòng)能定理可得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}={F}_{1}\frac{L}{cosα}=-{F}_{2}\frac{L}{cosβ}$；
所以，F(xiàn)₁cosβ+F₂cosα=0，即mg（sinαcosβ+sinβcosα）-2μmgcosαcosβ=0；所以，$μ=\frac{sinαcosβ+sinβcosα}{2cosαcosβ}=\frac{1}{2}（tanα+tanβ）$；
（2）由（1）可得：在傾角為α的斜面上時(shí)兒童加速度a₁=（sinα-μcosα）g，在傾角為β的斜面上時(shí)兒童加速度a₂=（sinβ-μcosβ）g；
所以，兒童在傾角為α的斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\sqrt{\frac{2×\frac{L}{cosα}}{{a}_{1}}}=\sqrt{\frac{4L}{（sinαcosα-tanβco{s}^{2}α）g}}$；
兒童在傾角為β的斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{2}=\sqrt{\frac{2×\frac{L}{cosβ}}{-{a}_{2}}}$=$\sqrt{\frac{4L}{（tanαco{s}^{2}β-sinβcosβ）g}}$；
答：（1）兒童與滑梯之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為$\frac{1}{2}（tanα+tanβ）$；
（2）求兒童在兩段滑梯上滑動(dòng)所用的時(shí)間分別為$\sqrt{\frac{4L}{（sinαcosα-tanβco{s}^{2}α）g}}$、$\sqrt{\frac{4L}{（tanαco{s}^{2}β-sinβcosβ）g}}$．

點(diǎn)評(píng) 在物體運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題中，一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，利用牛頓第二定律求得加速度，然后應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求得運(yùn)動(dòng)位移、速度、時(shí)間等問(wèn)題．