Question

12．將一測力傳感器連接到計算機上就可以測量快速變化的力，圖甲表示小滑塊（可視為質(zhì)點）沿固定的光滑半球形容器內(nèi)壁在豎直平面的A、A′之間來回滑動，A、A′點與O點連線與豎直方向之間夾角相等且都為θ，θ很�。畧D乙表示滑塊對器壁的壓力F隨時間t變化的曲線，且圖中t=0為滑塊從A點開始運動的時刻，試根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中（包括圖中）所給的信息，求：（g取10m/s²）

（1）容器的半徑；
（2）滑塊的質(zhì)量；
（3）滑塊運動過程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）θ很小，滑塊的運動與單擺的運動類似，近似為簡諧運動，由圖讀出周期，由單擺的周期公式求出容器的半徑．
（2）滑塊在最高點，對器壁的壓力最小，為F_min=mgcosθ，在最低點速度最大，沿半徑方向上的合力提供向心力，此時壓力最大，最高點到最低點，機械能守恒，求出滑塊的質(zhì)量．
（3）滑塊運動到最低點B時速度達到最大，在B點，由滑塊運用牛頓第二定律定律求最大速度．

解答 解：（1）由題圖乙得知：小滑塊做簡諧振動的周期 T=4×$\frac{π}{20}$s=0.2π s
又 T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
解得 R=$\frac{{T}^{2}g}{4{π}^{2}}$=0.1m
（2）在最高點A，有 F_min=mgcosθ=0.495N
在最低點B，有 F_max-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
從A到B，滑塊機械能守恒，有 mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²；
聯(lián)立解得 m=0.05 kg
（3）由題意知滑塊運動到最低點B時速度達到最大，有F_max-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由圖得 F_max=0.510N
解得最大速度  v=0.141 m/s．
答：（1）容器的半徑是0.1 m．
（2）滑塊的質(zhì)量是0.05 kg．  
（3）滑塊運動過程中的最大速度是0.141 m/s．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道滑塊所做的運動是單擺運動，俗稱槽擺，知道其等效擺長等于軌道的半徑，以及知道在什么位置壓力最大，什么位置壓力最小，運用機械能守恒進行求解．