Question

16．如圖所示，一“┙”型長木板B靜止于粗糙的水平地面上，其上距離右端d=0.5m處放置一小滑塊A（可視為質點）．現(xiàn)給A 一個瞬間沖量使A獲得水平向右的初速度v₀=2$\sqrt{5}$m/s，已知A、B的質量分別為m₁=1kg、m₂=3kg，A、B問的動摩擦因素μ₁=0.4，B與地面間的動摩擦因素μ₂=O.2．A與B的右端發(fā)生碰撞時問極短，且可視為彈性碰撞，g=10/ms²．
（1）碰前瞬間A的速度；
（2）若A恰好不從B的左端滑出，求B木板的長度L．

Answer 1

分析 （1）A獲得初速度后向右做勻減速運動，分析B受力情況，可知B處于靜止狀態(tài)，由動能定理求出碰前瞬間A的速度；
（2）A、B發(fā)生了彈性碰撞，由動量守恒定律和動能守恒列式，求出碰后兩者的速度．碰后，A向左做勻減速運動，B向右做勻減速運動，若A恰好不從B的左端滑出時兩者速度相同，對A、B運用牛頓第二定律求出加速度，根據速度相等求得時間，再由位移關系可求得B木板的長度L．

解答 解：（1）A獲得初速度后向右做勻減速運動，A對B的滑動摩擦力大小 f₁=μ₁m₁g=0.4×1×10N=4N，B與地面間的最大靜摩擦力 f_m=μ₂（m₁+m₂）g=0.2×4×10N=8N
由于f₁＜f_m，所以B靜止不動．
對A，由動能定理得-f₁d=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$
解得碰前瞬間A的速度 v=4m/s；
（2）設A、B碰撞后瞬間速度分別為v₁和v₂．
取向右為正方向，由動量守恒定律得：
     m₁v=m₁v₁+m₂v₂．
由能量守恒定律得：
    $\frac{1}{2}$m₁v²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²．
聯(lián)立解得 v₁=-2m/s，v₂=2m/s
碰后，A向左做勻減速運動，B向右做勻減速運動，根據牛頓第二定律得
A的加速度大小為 a₁=$\frac{{μ}_{1}{m}_{1}g}{{m}_{1}}$=μ₁g=4m/s²．
B的加速度大小為 a₂=$\frac{{μ}_{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）g-{f}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{0.2×4×10-4}{2}$=2m/s²．
A勻減速至速度為零的時間 t₁=$\frac{|{v}_{1}|}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{4}$=0.5s
此過程中，A、B的位移分別為 x₁=$\frac{|{v}_{1}|}{2}{t}_{1}$=$\frac{2}{2}$×0.5=0.5m，x₂=v₂t₁-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$=2×0.5-$\frac{1}{2}$×2×0.5²=0.75m
此時B的速度為 v₃=v₂-a₂t₁=2-2×0.5=1m/s
之后A在摩擦力作用下向右做勻加速運動，B繼續(xù)向右做勻減速運動，設再經時間t₃兩者速度相同．
  v=a₁t₃=v₃-a₂t₃．
解得 t₃=$\frac{1}{6}$s，v=$\frac{2}{3}$m/s
在時間t₃內A的位移為 x₄=$\frac{v{t}_{3}}{2}$=$\frac{\frac{2}{3}×\frac{1}{6}}{2}$=$\frac{1}{18}$m，B的位移為 x₅=$\frac{{v}_{3}+v}{2}{t}_{3}$=$\frac{1+\frac{2}{3}}{2}×\frac{1}{6}$=$\frac{5}{36}$m
所以B木板的長度 L=（x₁+x₂）+（x₅-x₄）=（0.5+0.75）+（$\frac{5}{36}$-$\frac{1}{18}$）=$\frac{4}{9}$m
答：
（1）碰前瞬間A的速度是4m/s；
（2）若A恰好不從B的左端滑出，B木板的長度L是$\frac{4}{9}$m．

點評 本題是滑塊在木板上滑動的類型，要分過程進行研究，要運用牛頓第二定律、運動學公式邊計算邊分析．