Question

人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)時(shí)，既具有動(dòng)能又具有引力勢能（引力勢能實(shí)際上是衛(wèi)星與地球共有的，簡略地說此勢能是人造衛(wèi)星所具有的）．設(shè)地球的質(zhì)量為M，以衛(wèi)星離地?zé)o限遠(yuǎn)處時(shí)的引力勢能為零，則質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在距離地心為r處時(shí)的引力勢能為Ep=-

GMm

r

（G為萬有引力常量）．
（1）試證明：在大氣層外任一軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星所具有的機(jī)械能的絕對值恰好等于其動(dòng)能．
（2）當(dāng)物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時(shí)，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，這個(gè)速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示．用R表示地球的半徑，M表示地球的質(zhì)量，G表示萬有引力常量．試寫出第二宇宙速度的表達(dá)式．
（3）設(shè)第一宇宙速度為v₁，證明：v2=

2

v1．

Answer 1

（1）設(shè)衛(wèi)星在半徑為r的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v，地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m．有萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：G

Mm

r2

=

mv2

r

所以，人造衛(wèi)星的動(dòng)能：Ek=

1

2

mv2=

1

2

GMm

R

衛(wèi)星在軌道上具有的引力勢能為：Ep=-

GMm

r

所以衛(wèi)星具有的引力勢能為：E=Ek+Ep=

1

2

GMm

r

-

GMm

r

=-

1

2

GMm

r

所以：|E|=|-

1

2

GMm

r

|=

1

2

GMm

r

（2）設(shè)物體在地于表面的速度為v₂，當(dāng)它脫離地球引力時(shí)r→∞，此時(shí)速度為零，由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

m

v

22

-

GMm

R

=0
解得：v2=

2GM R

（3）第一宇宙速度即為繞地球表面運(yùn)行的速度，故有：G

Mm

R2

=m

v 21

R

得：v2=

2

GM R

=

2

v1
答：
（1）證明過程如上所述；
（2）第二宇宙速度的表達(dá)式是

2GM R

．
（3）證明過程如上所述．