Question

（2008?如皋市模擬）人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)時(shí)，既具有動(dòng)能又具有引力勢(shì)能（引力勢(shì)能實(shí)際上是衛(wèi)星與地球共有的，簡(jiǎn)略地說(shuō)此勢(shì)能是人造衛(wèi)星所具有的）．設(shè)地球的質(zhì)量為M，以衛(wèi)星離地?zé)o限遠(yuǎn)處時(shí)的引力勢(shì)能為零，則質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在距離地心為r處時(shí)的引力勢(shì)能為Ep=-

GMm

r

（G為萬(wàn)有引力常量）．
（1）試證明：在大氣層外任一軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星所具有的機(jī)械能的絕對(duì)值恰好等于其動(dòng)能．
（2）當(dāng)物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時(shí)，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，這個(gè)速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示．用R表示地球的半徑，M表示地球的質(zhì)量，G表示萬(wàn)有引力常量．試寫(xiě)出第二宇宙速度的表達(dá)式．
（3）設(shè)第一宇宙速度為v₁，證明：v2=

2

v1．

Answer 1

分析：（1）人造衛(wèi)星機(jī)械能守恒，由萬(wàn)有引力提供向心力公式，求出關(guān)于速度的表達(dá)式，再根據(jù)動(dòng)能的具體形式進(jìn)行代換，求出動(dòng)能，動(dòng)能加上此時(shí)的引力勢(shì)能即為機(jī)械能，將機(jī)械能的絕對(duì)值與動(dòng)能進(jìn)行比較即可．
（2）第二宇宙速度為衛(wèi)星脫離地球束縛的最小速度，即衛(wèi)星在地表處動(dòng)能剛好等于此處勢(shì)能時(shí)便可脫離地球．
（3）當(dāng)衛(wèi)星繞地球附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，即為第一宇宙速度，由萬(wàn)有引力和向心力結(jié)合得到第一宇宙速度，即可得證．

解答：解：（1）設(shè)衛(wèi)星在半徑為r的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v，地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m．有萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：G

Mm

r2

=

mv2

r

所以，人造衛(wèi)星的動(dòng)能：Ek=

1

2

mv2=

1

2

GMm

R

衛(wèi)星在軌道上具有的引力勢(shì)能為：Ep=-

GMm

r

所以衛(wèi)星具有的引力勢(shì)能為：E=Ek+Ep=

1

2

GMm

r

-

GMm

r

=-

1

2

GMm

r

所以：|E|=|-

1

2

GMm

r

|=

1

2

GMm

r

（2）設(shè)物體在地于表面的速度為v₂，當(dāng)它脫離地球引力時(shí)r→∞，此時(shí)速度為零，由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 2

-

GMm

R

=0
解得：v2=

2GM R

（3）第一宇宙速度即為繞地球表面運(yùn)行的速度，故有：G

Mm

R2

=m

v 2 1

R

得：v2=

2

GM R

=

2

v1
答：
（1）證明過(guò)程如上所述；
（2）第二宇宙速度的表達(dá)式是

2GM R

．
（3）證明過(guò)程如上所述．

點(diǎn)評(píng)：此題是機(jī)械能守恒在天體中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，要充分利用萬(wàn)有引力提供向心力的條件，并且選無(wú)限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)，地球表面處勢(shì)能最大，當(dāng)動(dòng)能大于或等于地球表面勢(shì)能時(shí)，衛(wèi)星就能脫離地球的吸引．