Question

15．如圖甲所示，豎直平面內(nèi)有兩根間距為d的足夠長(zhǎng)平行導(dǎo)軌，導(dǎo)軌上端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒夾在兩導(dǎo)軌間，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的摩擦不計(jì)，導(dǎo)軌間存在垂直導(dǎo)軌平面磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖乙所示，在0～t₀時(shí)間內(nèi)，作用一外力使導(dǎo)體棒靜止，此時(shí)導(dǎo)體棒距上端電阻R距離為d，在t₀時(shí)刻撤去外力．已知重力加速度為g，試求：
（1）t₀時(shí)刻導(dǎo)體棒中的電流大小和方向；
（2）導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的最大速度v；
（3）若從靜止開始到導(dǎo)體棒達(dá)到最大速度，電阻R產(chǎn)生的熱量為Q，則這個(gè)過(guò)程中導(dǎo)體棒下落的高度h．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再有歐姆定律求解電流的變化，
（2）最大速度時(shí)，加速度應(yīng)為0，由牛頓第二定律即可求解，
（3）根據(jù)能量守恒定律求解即可，

解答 解：（1）0～t₀時(shí)間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$E=\frac{△φ}{△t}={d^2}\frac{△B}{△t}=\frac{{B{d^2}}}{t_0}$
0～t₀時(shí)間內(nèi)，回路中的電流為$I=\frac{E}{R+r}$此階段電流恒定        
t₀時(shí)刻之后，導(dǎo)體棒從靜止開始下落，速度逐漸增大，而加速度逐漸減小，電動(dòng)勢(shì)E=Bdv，而電流i=$i=\frac{E}{R+r}=\frac{Bdv}{R+r}$故電流也隨時(shí)間變化的規(guī)律與速度隨時(shí)間變化規(guī)律類似．
圖象如圖

故t₀時(shí)刻電阻中的電流大小為零．
（2）t₀時(shí)刻之后，當(dāng)速度增大到使導(dǎo)體棒受到的安培力與重力相等時(shí)，速度達(dá)到最大$\frac{{{B^2}{d^2}v}}{R+r}=mg$
解得導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的最大速度 $v=\frac{mg（R+r）}{{{B^2}{d^2}}}$
（3）電阻R產(chǎn)生了Q的熱量，則回路產(chǎn)生的熱量一共為$\frac{（R+r）Q}{R}$
由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律得導(dǎo)體棒下落 時(shí)重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動(dòng)能和回路中的內(nèi)能，即
mgh=$\frac{1}{2}m{v^2}+\frac{（R+r）Q}{R}$
解得h=$\frac{v^2}{2g}+\frac{（R+r）Q}{Rmg}$=$\frac{{{m^2}g{{（R+r）}^2}}}{{2{B^4}{d^4}}}+\frac{（R+r）Q}{Rmg}$
答：（1）t₀時(shí)刻導(dǎo)體棒中的電流大小為零；
（2）導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的最大速度v為$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}h954b3a^{2}}$；
（3）若從靜止開始到導(dǎo)體棒達(dá)到最大速度，電阻R產(chǎn)生的熱量為Q，則這個(gè)過(guò)程中導(dǎo)體棒下落的高度h為$\frac{{{m^2}g{{（R+r）}^2}}}{{2{B^4}{d^4}}}+\frac{（R+r）Q}{Rmg}$．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)桿做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，應(yīng)用平衡條件、安培力公式、能量守恒定律即可正確解題．桿克服安培力做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，可以從能量角度求焦耳熱．