Question

17．如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放著質(zhì)量均為1kg的A、B兩個(gè)小物塊，其中B用長(zhǎng)L=0.25m的細(xì)線與固定在中心軸處的力傳感器相連，細(xì)線能承受的最大拉力為8N．A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.4，B與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.1，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，轉(zhuǎn)臺(tái)靜止時(shí)，細(xì)線剛好伸直，力傳感器讀數(shù)為零，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)以不同的角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳感器會(huì)顯示相應(yīng)的讀數(shù)，試通過(guò)計(jì)算寫(xiě)出F和ω間的函數(shù)表達(dá)式（取g=10m/s²，設(shè)A、B一旦發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，A立即從B上滑下并忽略A從B上滑下去的時(shí)間）

Answer 1

分析 對(duì)AB整體分析，當(dāng)繩子剛有拉力時(shí)，摩擦力達(dá)到最大，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子剛有拉力時(shí)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度，從而得出拉力為零時(shí)的角速度范圍．對(duì)B分析，通過(guò)最大靜摩擦力結(jié)合牛頓第二定律求出剛要滑動(dòng)時(shí)的角速度，根據(jù)牛頓第二定律求出此時(shí)拉力的表達(dá)式以及角速度的范圍．對(duì)A分析，根據(jù)最大拉力以及A所受的最大靜摩擦力，通過(guò)牛頓第二定律求出繩子剛要斷時(shí)的角速度，以及繩子拉力的表達(dá)式．

解答 解：對(duì)AB整體分析，當(dāng)繩子剛有拉力時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：${μ}_{1}•2mg=2m{rω}_{1}^{2}$，
當(dāng)B物體與將發(fā)生滑動(dòng)時(shí)的角速度為：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{{μ}_{1}g}{r}}=\sqrt{\frac{1}{0.25}}=2rad/s$；
則：F=0，ω∈[0，2]；
當(dāng)A物體所受的摩擦力大于最大靜摩擦力時(shí)，A將要脫離B物體，此時(shí)的角速度由：${μ}_{2}mg=mr{ω}^{2}$得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{{μ}_{2}g}{r}}=4rad/s$
則：$F=2m{ω}^{2}r-{μ}_{1}•2mg=0.5{ω}^{2}-2$（ω∈[2，4]）
此時(shí)繩子的張力為：T=2mω²r-μ₁2mg=2×16×0.25-2=6N＜8N，故繩子末斷
接下來(lái)隨角速度的增大，B脫離A物體．
只有A物體作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)拉力最大時(shí)的角速度為ω₃，根據(jù)牛頓第二定律得：
${T}_{max}+{μ}_{1}mg=m{rω}_{3}^{2}$
則：${ω}_{3}=\sqrt{\frac{8+1}{0.25}}=6rad/s$，
則當(dāng)角速度為：ω₂，mrω²=1×16×0.25=4N＞μ₁mg
即繩子產(chǎn)生了拉力．
則：$F=2m{ω}^{2}r-{μ}_{1}mg=0.25{ω}^{2}-1$，ω∈[4，6]．
則坐標(biāo)系中作出 F-ω²圖象如圖所示．
答：當(dāng)0≤ω≤2rad/s時(shí)，F(xiàn)=0
當(dāng)2rad/s＜ω≤4rad/s時(shí)，F(xiàn)=0.5ω²-2
當(dāng)4rad/s＜ω≤6rad/s時(shí)，F(xiàn)=0.25ω²-1

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵正確地確定研究對(duì)象，搞清向心力的來(lái)源，結(jié)合臨界條件，通過(guò)牛頓第二定律進(jìn)行求解