Question

12．一半徑為R的圓筒處于勻強磁場中，磁場方向與筒的軸平行，筒的橫截面如圖所示．圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒繞其中心軸以角速度ω順時針轉動．在該截面內，一質量為m，帶電量為q帶電粒子從小孔M射入筒內，射入時的運動方向與MN成30°角．當筒轉過90°時，該粒子恰好從小孔N飛出圓筒．不計粒子重力，若粒子在筒內未與筒壁發(fā)生碰撞，則關于帶電粒子的運動半徑r與磁場的磁感應強度B正確的是：（　�。�

• A． r=3R
• B． r=（$\sqrt{3}$+1）R
• C． B=$\frac{mω}{2q}$
• D． B=$\frac{mω}{3q}$

Answer 1

分析 本題顯然有一個等時關系：帶電粒子做勻速圓周運動的時間與圓筒轉過的時間相等，圓筒轉過90°時，恰從N點射出，畫出粒子做勻速圓周運動的軌跡，很容易看出帶電粒子轉過30°．由幾何關系就能求出粒子做勻速圓周運動的半徑，但要應有到半角公式，由等時關系從求磁感應強度的大�。�

解答 解：AB、作出粒子的運動軌跡如圖所示，其中O′為粒子運動軌跡的圓心，由幾何關系可知∠MO′N′=30°．則$\sqrt{2}R=2rsin15°$   所以$r=\frac{\sqrt{2}R}{2sin15°}=（\sqrt{4+2\sqrt{3}}）R$   選項AB錯誤．
CD、由粒子在磁場中做勻速圓周運動的規(guī)律可知$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，而$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$．由于粒子轉過30°所用時間與圓筒轉過90°所用時間相同．所以$\frac{30°}{360°}T=\frac{90°}{360°}×\frac{2π}{ω}$，將T代入得：$B=\frac{mω}{3q}$，所以選項C錯誤，選項D正確．
故選：D

點評 本題的靚點在于：①帶電粒子入射方向不是朝著圓心方向，所以射出方向也不是背著圓心的，要根據題意畫出粒子的軌跡．②畫出帶電粒子的運動軌跡后可以看出粒子轉過30°與圓筒轉過90°的時間相等，由此可以求出磁感應強度大小．