Question

3．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合，轉臺以一定角速度ω勻速旋轉，一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為45°．已知重力加速度大小為g，小物塊與陶罐之間的最大靜摩擦力大小為f=$\frac{\sqrt{2}}{4}$mg．
（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時的角速度ω₀；
（2）若小物塊一直相對陶罐靜止，求陶罐旋轉的角速度的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解；
（2）當ω＞ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最大角速度，當ω＜ω₀時，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當角速度最小時，摩擦力向上達到最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最小值．

解答 解：（1）當摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：$mgtanθ=mRsinθ{{ω}_{0}}^{2}$，
解得：${ω}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$
（2）當ω＞ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達最大值，設此最大角速度為ω₁，
由牛頓第二定律得，$fcosθ+{F}_{N}sinθ=mRsinθ{{ω}_{1}}^{2}$
fsinθ+mg=F_Ncosθ
聯(lián)立以上三式解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}g}{2R}}$
當ω＜ω₀時，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當角速度最小時，摩擦力向上達到最大值，設此最小角速度為ω₂
由牛頓第二定律得，${F}_{N}sinθ-fcosθ=mRsinθ{{ω}_{2}}^{2}$，
mg=F_Ncosθ+fsinθ，
聯(lián)立解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}$
答：（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，此時的角速度ω₀為$\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$；
（2）若小物塊一直相對陶罐靜止，陶罐旋轉的角速度的最大值為$\sqrt{\frac{3\sqrt{2}g}{2R}}$，最小值為$\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}$．

點評 解決本題的關鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解，難度適中．