Question

空間有一靜電場(chǎng)，在x軸上的電場(chǎng)方向豎直向下，軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度大小按E=kx分布（x是軸上某點(diǎn)到O點(diǎn)的距離），如圖1所示．在O點(diǎn)正下方有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線連接A、B兩個(gè)均帶負(fù)電的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），A球距O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，兩球恰好靜止，細(xì)繩處于張緊狀態(tài)．已知A、B兩球質(zhì)量均為m，B所帶電量為-q，k=

mg

3qL

，不計(jì)兩小球之間的靜電力作用．
（1）求A球的帶電量；
（2）畫出A球所受電場(chǎng)力F與x的圖象；剪斷細(xì)線后，A球向上運(yùn)動(dòng)，求A球運(yùn)動(dòng)的最大速度v_m；（提示：借助圖2F-x圖象可以確定電場(chǎng)力做功的規(guī)律）
（3）剪斷細(xì)線后，求B球的運(yùn)動(dòng)范圍．

Answer 1

（1）A、B兩球靜止時(shí)，A球所處位置場(chǎng)強(qiáng)為：E1=k?L=

mg

3q

B球所處位置場(chǎng)強(qiáng)為：E2=k?2L=

2mg

3q

對(duì)A、B由整體法得：2mg=q_AE₁+qE₂
解得：q_A=4q
（2）A球所受電場(chǎng)力F與x的圖象如圖所示：

剪斷細(xì)線后，A球向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A球的加速度為零時(shí)，速度達(dá)到最大，此時(shí)A球距O點(diǎn)距離為：
x₁mg=4qE=4q

mg

3qL

x1
解得：x1=

3L

4

剪斷細(xì)線后，A球從運(yùn)動(dòng)到獲得最大速度，A球上升的高度為：△x1=

L

4

由動(dòng)能定理得：-mg△x1+

.

F

A△x1=

1

2

mvm2-0
由圖象可知，可得：

.

F

A=

mg+ 4 3 mg

2

=

7

6

mg
解得：vm=

gL 12

（本題也可由F-x圖象中圖線與x軸所夾的面積求電場(chǎng)力做功）
（3）方法一：剪斷細(xì)線后，設(shè)B球向下運(yùn)動(dòng)的最大位移為△x時(shí)，速度變?yōu)榱愦藭r(shí)B球所受電場(chǎng)力為：FB=q

mg

3qL

(2L+△x)=

mg

3L

(2L+△x)
由動(dòng)能定理得：mg△x-

.

F

B△x=0-0

.

F

B=

2mg 3 + (2L+△x)mg 3L

2

解得：△x=2L則B球的運(yùn)動(dòng)范圍是：2L≤x≤4L
方法二：B球下落速度達(dá)到最大時(shí)，B球距O點(diǎn)距離為：x₀mg=qE=q

mg

3qL

x0
解得：x₀=3L
記x₀=3L位置處為O₁點(diǎn)，小球繼續(xù)下落△x位移時(shí)，其所受合力為F
F=mg-qE=mg-q

mg

3qL

(3L+△x)=-

mg

3L

△x
由此可以判斷：B球在回復(fù)力作用下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)以O(shè)₁為平衡位置，振幅為L(zhǎng)．
則B球的運(yùn)動(dòng)范圍是：2L≤x≤4L
答：（1）A球的帶電量為4q；
（2）畫出A球所受電場(chǎng)力F與x的圖象如圖；剪斷細(xì)線后，A球向上運(yùn)動(dòng)，A球運(yùn)動(dòng)的最大速度vm=

gL 12

；
（3）剪斷細(xì)線后，B球的運(yùn)動(dòng)范圍是：2L≤x≤4L．