Question

15．有一只螞蟻不慎跌入一個碗中，如圖所示，碗內壁為一半徑為R的球殼的一部分，且其深度為D，碗與螞蟻腳間的動摩擦因數為μ，若螞蟻無法順利爬出碗口，求：D應滿足什么條件．

Answer 1

分析 當螞蟻在容器面上受到的摩擦力最大時恰好等于重力在該點切線方向的分力，應用平衡條件結合平面幾何知識便可求解D的最小值．

解答 解：對螞蟻受力分析，受到重力、支持力和靜摩擦力，到碗口時，最容易滑下，此時靜摩擦力最大，等于滑動摩擦力，如圖

根據平衡條件，有：
f=mgsinθ    ①
N=mgcosθ       ②
其中f=μN      ③
cosθ=$\frac{R-D}{R}$   ④
由①②③④解得：D=R（1-$\sqrt{\frac{1}{{μ}^{2}+1}}$）．
所以螞蟻無法順利爬出碗口，則D＞R（1-$\sqrt{\frac{1}{{μ}^{2}+1}}$）．
答：若螞蟻無法順利爬出碗口，則D＞R（1-$\sqrt{\frac{1}{{μ}^{2}+1}}$）．

點評 本題的關鍵是找出螞蟻剛要下滑的臨界條件，然后受力分析運用力的合成或分解結合共點力平衡條件便可解決，最后還得找D和R的關系．