Question

7．如圖所示，兩條互相平行且足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌位于水平面內(nèi)，導(dǎo)軌間距l(xiāng)=0.2m，在導(dǎo)軌的一端接有阻值R=3Ω的電阻，在x≥0處有一垂直導(dǎo)軌平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度B=0.5T．一質(zhì)量m=0.1kg，電阻r=2Ω的金屬棒垂直擱在導(dǎo)軌上，并以v₀=20m/s的初速度進(jìn)入磁場(chǎng)，在水平拉力F的作用下作持續(xù)的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小a=2m/s²、方向與初速度方向相反．棒與導(dǎo)軌接觸良好，其余電阻均不計(jì)．求：
（1）電流第一次減少為最大值一半時(shí)金屬棒所處的位置；
（2）電流第一次減少為最大值的一半時(shí)拉力F的功率；
（3）已知金屬棒開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)到速度減小為零的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q₁=1.6J，求該過(guò)程中拉力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）金屬棒剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)電流最大．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求最大電流．再根據(jù)E=BLv，I=$\frac{E}{R+r}$，求出電流第一次減少為最大值一半時(shí)金屬棒的速度．
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解位移；
（2）由F=BIL求出安培力大小，根據(jù)牛頓第二定律求出拉力F，再求解其功率．
（3）根據(jù)功能關(guān)系求解拉力做的功．回路中產(chǎn)生的焦耳熱等于金屬棒克服安培力做功．

解答 解：（1）金屬棒剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)電流最大．根據(jù)閉合電路歐姆定律有
最大電流為   I_m=$\frac{Bl{v}_{0}}{R+r}$
設(shè)電流第一次減少為最大值一半時(shí)金屬棒的速度為v，根據(jù)閉合電路歐姆定律有
   I=$\frac{1}{2}$I_m=$\frac{Blv}{R+r}$
解得 v=$\frac{1}{2}{v}_{0}$=10m/s
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有 v²-v₀²=-2ax
解得 x=75m
（1）由（1）知，電流第一次減少為最大值一半時(shí)金屬棒的速度為 v=10m/s
金屬棒所受的安培力為 F_A=BIl=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$
可得 F_A=0.02N              
根據(jù)牛頓第二定律有
   F+F_A=ma，
解得 F=0.18N
拉力F的功率 P₁=Fv=0.18×10W=1.8W．
（3）已知金屬棒開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)到速度減小為零的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q₁=1.6J，根據(jù)焦耳定律知，該過(guò)程中回路中產(chǎn)生的總熱量為
    Q=$\frac{R+r}{R}$Q₁=$\frac{3+2}{3}$×1.6J=$\frac{8}{3}$J
根據(jù)功能關(guān)系有：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+W_F=Q
解得：W_F=-17.3J
答：
（1）電流第一次減少為最大值一半時(shí)金屬棒所處的位置距O點(diǎn)75m；
（2）電流第一次減少為最大值的一半時(shí)拉力F的功率是1.8W；
（3）該過(guò)程中拉力F所做的功是-17.3J．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，安培力是聯(lián)系這兩部分的橋梁．要能熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，把握能量是如何轉(zhuǎn)化的，知道回路中產(chǎn)生的焦耳熱等于金屬棒克服安培力做功．