Question

6．如圖甲，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ=30°角固定，M、P之間接電阻箱R，導(dǎo)軌所在空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于軌道平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.5T．質(zhì)量為m的金屬桿a b水平放置在軌道上，其接入電路的電阻值為r．現(xiàn)從靜止釋放桿a b，測(cè)得最大速度為v_m．改變電阻箱的阻值R，得到v_m與R的關(guān)系如圖乙所示．已知軌距為L(zhǎng)=2m，重力加速度g取l0m/s²，軌道足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)．求：

（1）桿a b下滑過(guò)程中感應(yīng)電流的方向及R=0時(shí)最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E的大小；
（2）金屬桿的質(zhì)量m和阻值r；
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，求回路瞬時(shí)電功率每增加1W的過(guò)程中合外力對(duì)桿做的功W．

Answer 1

分析 （1）ab桿勻速下滑時(shí)速度最大，當(dāng)R=0時(shí)，由乙圖讀出最大速度，由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由右手定則判斷感應(yīng)電流的方向；
（2）根據(jù)E=BLv、$I=\frac{E}{R+r}$及平衡條件，推導(dǎo)出桿的最大速度v與R的表達(dá)式，結(jié)合圖象的意義，求解桿的質(zhì)量m和阻值r；
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，讀出最大速度．由E=BLv和功率公式$P=\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到回路中瞬時(shí)電功率的變化量，再根據(jù)動(dòng)能定理求解合外力對(duì)桿做的功W．

解答 解：（1）由右手定則判斷得知，桿中電流方向從b→a；
由圖可知，當(dāng)R=0 時(shí)，桿最終以v=2m/s勻速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì) E=BLv=0.5×2×2V=2V 
（2）設(shè)最大速度為v，桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv，
由閉合電路的歐姆定律：$I=\frac{E}{R+r}$，桿達(dá)到最大速度時(shí)滿足 mgsinθ-BIL=0，
解得v=$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}R+\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}r$．
由圖象可知：斜率為$k=\frac{4-2}{2}m/（s•Ω）=1m/（s•Ω）$，縱截距為v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}r$=v₀，$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$=k  
解得：m=0.2kg，r=2Ω．
（3）由題意：E=BLv，$P=\frac{E^2}{R+r}$
得  $P=\frac{{{B^2}{L^2}{v^2}}}{R+r}$，則$△P=\frac{{{B^2}{L^2}v_2^2}}{R+r}-\frac{{{B^2}{L^2}v_1^2}}{R+r}$
由動(dòng)能定理得W=$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$，
聯(lián)立解得：$W=\frac{{m（{R+r}）}}{{2{B^2}{L^2}}}△P$，
W=0.6J．
答：（1）電流方向從b→a；當(dāng)R=0時(shí)，桿a b勻速下滑過(guò)程中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)E的大小是2V；
（2）金屬桿的質(zhì)量m是0.2kg，阻值r是2Ω；
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，回路瞬時(shí)電功率每增加1W的過(guò)程中合外力對(duì)桿做的功W是0.6J．

點(diǎn)評(píng) 電磁感應(yīng)問(wèn)題經(jīng)常與電路、受力分析、功能關(guān)系等知識(shí)相結(jié)合，是高中知識(shí)的重點(diǎn)，該題中難點(diǎn)是第三問(wèn)，關(guān)鍵是根據(jù)物理規(guī)律寫(xiě)出兩坐標(biāo)物理量之間的函數(shù)關(guān)系．