Question

【題目】如圖所示為雨滴從高空下落過程中空氣阻力f隨雨滴速度v變化的大致情況，其中圖線①、②分別對應(yīng)半徑不同的雨滴。

（1）請利用圖線分析并說明雨滴下落過程中加速度和速度隨時(shí)間變化的大致情況。

（2）已知圖中直線的斜率值，其中，r為雨滴的半徑。（雨滴的密度取）請比較①、②圖線所示的兩個(gè)雨滴下落的最終速度；請計(jì)算半徑r=5mm的雨滴下落的最終速度。

（3）已知一滴雨珠的重力可達(dá)蚊子體重的50倍之多，但是下雨時(shí)蚊子卻可以在“雨中漫步”。為研究蚊子不會被雨滴砸死的訣竅， 科學(xué)家用高速相機(jī)以每秒4000幀的速度拍攝，記錄雨滴擊中蚊子時(shí)二者相互作用的每一個(gè)動(dòng)作，歸納并計(jì)算出蚊子與雨滴遭遇瞬間的作用力及其隨雨滴向下移動(dòng)的距離。針對雨滴下落時(shí)正中蚊子的情況，研究發(fā)現(xiàn)蚊子被雨滴擊中時(shí)并不抵擋雨滴，而是與雨滴融為一體，順應(yīng)雨滴的趨勢落下，隨后迅速側(cè)向微調(diào)與雨滴分離。現(xiàn)對比兩種情況：①蚊子在空中被雨滴砸中；②蚊子棲息于地面時(shí)被雨滴砸中，請建立理想模型，通過計(jì)算比較兩種情況下雨滴擊中時(shí)的沖擊對蚊子的傷害。（解題過程中需要用到的物理量，要在解題時(shí)作必要的說明）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】（1）雨滴下落過程中受到重力mg和空氣阻力f的作用，加速度方向向下

由牛頓第二定律知加速度大小

題中給出的f-v圖像表明，當(dāng)下落速度v增大時(shí)，阻力f隨之增大

由上式可知加速度a隨之減小

由于加速度與速度方向相同，所以速度是增大的，只是增加得越來越慢

當(dāng)重力mg和空氣阻力f相等時(shí)，雨滴以最大速度做勻速運(yùn)動(dòng)。

（2）當(dāng)mg=f時(shí)，雨滴達(dá)到最終速度，將雨滴的質(zhì)量，阻力

代入可得①。

a．①式說明，雨滴的半徑r越大，最終速越大，由f-v圖像可判斷出①圖線表示的雨滴比②圖線表示的雨滴半徑大，因此下落速度更大。

b．將雨滴的密度、半徑r=5mm及代入①式

可得半徑r=5mm的雨滴下落的最終速度

（3）方法一：

將蚊子在空中被雨滴砸中的情況視為雨滴與蚊子發(fā)生完全非彈性碰撞的模型，將蚊子棲息于地面時(shí)被雨滴砸中的情況視為雨滴與蚊子和大地組成的整體發(fā)生完全非彈性碰撞的模型。

對發(fā)生完全非彈性碰撞的兩個(gè)物體應(yīng)用動(dòng)量守恒定律：

碰撞過程損失的機(jī)械能為：①

在第①種情況中，因?yàn)橛甑蔚馁|(zhì)量M約為蚊子的質(zhì)量m的50倍，由①式可知損失的機(jī)械能約為雨滴下落時(shí)動(dòng)能的；

在第②種情況中，將蚊子和地面視為整體，①式中的m代表地球與蚊子的質(zhì)量之和，由①式可知損失的機(jī)械能約為雨滴下落時(shí)動(dòng)能的全部。

碰撞過程機(jī)械能的損失伴隨著系統(tǒng)發(fā)生不可恢復(fù)的形變等過程，即使認(rèn)為兩次作用的時(shí)間相等（實(shí)際上應(yīng)有），亦可知第②種情況對蚊子的傷害大。

方法二：

仍采取上述完全非彈性碰撞模型，但從沖量和力的角度進(jìn)行分析。

設(shè)雨滴的質(zhì)量為M，蚊子的質(zhì)量為m，雨滴下落到地面附近時(shí)速度大小為，因相互作用時(shí)間很短，不考慮重力的影響。

第①種情況：對雨滴與蚊子相互作用的過程應(yīng)用動(dòng)量守恒定律：，可得

設(shè)蚊子與雨滴間的相互作用力為，作用時(shí)間為，對雨滴應(yīng)用動(dòng)量定理，有

由于雨滴的質(zhì)量M約為蚊子的質(zhì)量m的50倍，所以v與幾乎相等， 即雨滴受到的沖量約等于零；

第②種情況：是雨滴與棲息了一只蚊子的地面發(fā)生相互作用的過程，雨滴與地面作用前速度大小為，作用后速度為零，設(shè)蚊子（與地面）和雨滴間的相互作用力為，作用時(shí)間為，對雨滴應(yīng)用動(dòng)量定理：

可知雨滴受到的沖量約等于雨滴質(zhì)量與下落速度二者的乘積；

兩種情況相比，因?yàn)槲米訉τ甑蔚臎_量與雨滴對蚊子的沖量大小相等，可知，第①種情況中蚊子受到的沖量小，即使認(rèn)為兩次作用的時(shí)間相等（實(shí)際上應(yīng)有），仍有，因此第②種情況對蚊子的傷害大。