Question

如圖所示，真空中水平放置的兩個相同極板Y和Y'長為L，相距d，足夠大的豎直屏與兩板右側(cè)相距b．在兩板間加上可調(diào)偏轉(zhuǎn)電壓U，一束質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（不計重力）從兩板左側(cè)中點A以初速度v₀沿水平方向射入電場且能穿出．
（1）求兩板間所加偏轉(zhuǎn)電壓U的范圍；
（2）求粒子可能到達屏上區(qū)域的長度．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直射入電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動．當粒子恰好從極板右邊緣飛出時兩板間所加偏轉(zhuǎn)電壓U達到最大，由牛頓第二定律和運動學公式求出最大電壓．粒子可能從上極板邊緣飛出，也可能從下極板邊緣飛出，可得到電壓變化的范圍．
（2）粒子飛出電場后做勻速直線運動，根據(jù)推論可知，粒子速度的反向延長線交水平位移的中點，由三角函數(shù)知識可求出粒子可能到達屏上區(qū)域的長度．

解答：解：（1）設粒子在運動過程中的加速度大小為a，離開偏轉(zhuǎn)電場時偏轉(zhuǎn)距離為y，沿電場方向的速度為v_y，偏轉(zhuǎn)角為θ，其反向延長線通過O點，O點與板右端的水平距離為x，則有
 豎直方向：y=

1

2

at2…①
 水平方向：L=v₀t…②
 加速度為a=

Eq

m

…③
      E=

U

d

…④
由①②③④式解得：y=

qUL2

2dm v 2 0

當y=

d

2

時，U=

md2 v 2 0

qL2

則兩板間所加電壓的范圍為-

md2 v 2 0

qL2

≤U≤

md2 v 2 0

qL2

（2）當y=

d

2

時，粒子在屏上側(cè)向偏移的距離最大，設為y₀，則
  y₀=(

L

2

+b)tanθ
而tanθ=

d 2

L 2

=

d

L

解得 y₀=

d(L+2b)

2L

則粒子可能到達屏上區(qū)域的長度為2

d(L+2b)

2L

．
答：（1）兩板間所加偏轉(zhuǎn)電壓U的范圍為-

md2 v 2 0

qL2

≤U≤

md2 v 2 0

qL2

；
（2）粒子可能到達屏上區(qū)域的長度為2

d(L+2b)

2L

．

點評：本題是類平拋運動中的臨界問題，一方面要熟練掌握運動的分解法研究類平拋運動，另一方面要把握臨界條件．對于粒子飛出電場后偏轉(zhuǎn)的距離，常用有兩種方法：三角函數(shù)法和三角相似法．