Question

如圖，空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向?yàn)閥軸正方向，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面（紙面）向外，電場(chǎng)和磁場(chǎng)都可以隨意加上或撤除，重新加上的電場(chǎng)或磁場(chǎng)與    撤除前的一樣．一帶正電荷的粒子從P（x=0，y=h）點(diǎn)以一定的速度平行于x軸正向入射．這時(shí)若只有磁場(chǎng)，粒子將做半徑為R₀的圓周運(yùn)動(dòng)：若同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)，粒子恰好做直線運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)在，只加電場(chǎng)，當(dāng)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x=R₀平面（圖中虛線所示）時(shí)，立即撤除電場(chǎng)同時(shí)加上磁場(chǎng)，粒子繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，其軌跡與x軸交于M點(diǎn)．不計(jì)重力．求：
（1）粒子到達(dá)x=R₀平面時(shí)速度方向與x軸的夾角以及粒子到x軸的距離；
（2）M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_M．

Answer 1

分析：（1）做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力等于洛倫茲力，做圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，只有電場(chǎng)時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，聯(lián)立方程組即可求解；
（2）撤電場(chǎng)加上磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，求得R，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）做直線運(yùn)動(dòng)有：qE=qBv₀
做圓周運(yùn)動(dòng)有：qBv0=m

v 2 0

R0

只有電場(chǎng)時(shí)，粒子做類平拋，有：qE=ma
R₀=v₀t
v_y=at
解得：v_y=v₀
粒子速度大小為：v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v0
速度方向與x軸夾角為：θ=

π

4

粒子與x軸的距離為：H=h+

1

2

at2=h+

R0

2

（2）撤電場(chǎng)加上磁場(chǎng)后，有：qBv=m

v2

R

解得：R=

2

R0
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，圓心C位于與速度v方向垂直的直線上，該直線與x軸和y軸的夾角均為

π

4

，有幾何關(guān)系得
C點(diǎn)坐標(biāo)為：x_C=2R₀
yC=H-R0=h-

R0

2

過(guò)C作x軸的垂線，在△CDM中：

.

CM

=R=

2

R0

.

CD

=yC=h-

R0

2

解得：

.

DM

=

. CM 2- . CD 2

=

7 4 R 2 0 +R0h-h2

M點(diǎn)橫坐標(biāo)為：xM=2R0+

7 4 R 2 0 +R0h-h2

答：（1）粒子到達(dá)x=R₀平面時(shí)速度方向與x軸的夾角為

π

4

，粒子到x軸的距離為h+

R0

2

；
（2）M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_M為2R0+

7 4 R 2 0 +R0h-h2

．

點(diǎn)評(píng)：該題是帶電粒子在混合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要求同學(xué)們理解僅有電場(chǎng)時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，只有磁場(chǎng)時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及幾何關(guān)系解題，本題難度較大．