Question

10．如圖所示，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅲ內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，寬為1.5d，區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁未知，區(qū)域Ⅱ時(shí)無(wú)場(chǎng)區(qū)，寬為d．一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子從磁場(chǎng)邊界上的A點(diǎn)與邊界成θ=60°角垂直射入?yún)^(qū)域Ⅰ的磁場(chǎng)，粒子恰好不從區(qū)域Ⅲ的右邊界穿出且剛好能回到A點(diǎn)，粒子重力不計(jì)，求：
（1）區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)B_Ⅰ；
（2）區(qū)域Ⅰ磁場(chǎng)的最小寬度L；
（3）粒子從離開(kāi)A點(diǎn)到第一次回到A點(diǎn)的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系分別求出粒子在區(qū)域Ⅰ、Ⅲ中的半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式即可求解；
（2）由圖根據(jù)幾何關(guān)系求出Ⅰ區(qū)域磁場(chǎng)的最小寬度；
（3）粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在無(wú)場(chǎng)區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，分別求出在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中的時(shí)間，再求出總時(shí)間即可；

解答 解：（1）由題意知粒子的運(yùn)行軌跡如圖所示，設(shè)在區(qū)域Ⅰ、Ⅲ中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r、R，由圖知：
R+Rcosθ=1.5d
$Rsinθ-\fracqte6h1g{tanθ}=rsinθ$，
聯(lián)立得：R=d，$r=\fracmzq6oky{3}$
由洛倫茲力提供向心力有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，
同理區(qū)域Ⅰ中有：$qv{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
聯(lián)立解得：${B}_{1}^{\;}=3B$
（2）由（1）及圖知區(qū)域Ⅰ磁場(chǎng)的最小寬度為：$L=r-rcosθ=\fractrsscqo{6}$
（3）在區(qū)域Ⅰ中有：$r=\frac{mv}{q{B}_{1}^{\;}}$，
可得：$v=\frac{qBd}{m}$
粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{1}^{\;}=\frac{2θ}{360°}•\frac{2πm}{q{B}_{1}^{\;}}=\frac{2πm}{9qB}$，
在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{2d}{vsinθ}=\frac{4\sqrt{3}m}{3qB}$
在區(qū)域Ⅲ中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{3}^{\;}=\frac{2}{3}•\frac{2πm}{qB}=\frac{4πm}{3qB}$
所以粒子運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{14πm+12\sqrt{3}m}{9qB}$
答：（1）區(qū)域Ⅰ中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)${B}_{1}^{\;}$為3B；
（2）區(qū)域Ⅰ磁場(chǎng)的最小寬度L為$\fracn19m67r{6}$；
（3）粒子從離開(kāi)A點(diǎn)到第一次回到A點(diǎn)的時(shí)間t為$\frac{14πm+12\sqrt{3}m}{9qB}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，畫軌跡是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，解題基本步驟是：定圓心、畫軌跡、求半徑．