Question

7．如圖所示，質量為m=lkg的小物塊由靜止輕輕放在水平勻速運動的傳送帶上，從A點隨傳送帶運動到水平部分的最右端B點，經半圓軌道C點沿圓弧切線進入豎直光滑的半圓軌道，恰能做圓周運動．C點在B點的正上方，D點為軌道的最低點．小物塊離開D點后，做平拋運動，恰好垂直于傾斜擋板打在擋板跟水平面相交的E點．已知半圓軌道的半徑R=1.6m，D點距水平面的高度h=2.25m，取g=10m/s²，試求：
（1）摩擦力對物塊做的功；
（2）小物塊經過D點時對軌道壓力的大��；
（3）傾斜擋板與水平面間的夾角θ．

Answer 1

分析 本題（1）的關鍵是明確小物塊經過C點時恰好能做圓周運動的條件是重力等于向心力，然后再由動能定理即可求解；
（2）題的關鍵是根據(jù)動能定理或機械能守恒定律求出小物塊到達D點時的速度，然后再根據(jù)牛頓第二定律和牛頓第三定律即可求解；
（3）題的關鍵是根據(jù)平拋運動規(guī)律并結合幾何知識即可求出所求．

解答 解：（1）設小物塊經過C點時的速度大小v₁，因為經過C時恰好能完成圓周運動，由牛頓第二定律可得：
mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4m/s                                           
小物塊由A到B過程中，設摩擦力對小物塊做的功為W，由動能定理得：
W=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：W=8J
故摩擦力對物塊做的功為8J．                              
（2）設小物塊經過D點時的速度為v₂，對由C點到D點的過程，由動能定理的：
mg.2R=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
小物塊經過D點時，設軌道對它的支持力大小為F_N，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
聯(lián)立解得F_N=60N，${v}_{2}=4\sqrt{5}$m/s                                  
由牛頓第三定律可知，小物塊對軌道的壓力大小為：
F_N=F_N′=60N．
故小物塊經過D點時對軌道的壓力大小為60N．                   
（3）小物塊離開D點做平拋運動，設經時間t打在E點，
由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$s                                       
設小物塊打在E點時速度的水平、豎直分量分別為v_x、v_y，速度跟豎直方向的夾角為α，則：
v_x=v₂，v_y=gt     
又tanα=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}=\frac{4}{3}$，
聯(lián)立解得α=53°
再由幾何關系可得θ=α=53°，
故傾斜擋板與水平面的夾角為θ為53°．
答：（1）摩擦力對物塊做的功為8J；
（2）小物塊經過D點時對軌道壓力的大小為60N；
（3）傾斜擋板與水平面間的夾角θ為53°．

點評 對與圓周運動、平拋運動綜合的題目，要注意物體在豎直面內完成圓周運動的臨界條件（注意“繩”、“桿”、“軌道”的區(qū)別），然后根據(jù)動能定理以及平拋規(guī)律聯(lián)立即可求解．