Question

9．如圖所示為研究電子槍中電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化模型示意圖．在Oxy平面的ABCD區(qū)域內(nèi)，存在兩個(gè)場(chǎng)強(qiáng)大小均為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)I和II，兩電場(chǎng)的邊界均是邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形（不計(jì)電子所受重力）．
（1）在該區(qū)域AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，求電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置．
（2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)，求所有釋放點(diǎn)位置坐標(biāo)滿足的關(guān)系式．
（3）若將左側(cè)電場(chǎng)II整體水平向右移動(dòng)$\frac{L}{n}$（n≥1），仍使電子從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)（D不隨電場(chǎng)移動(dòng)），求在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置．

Answer 1

分析 （1）電子在AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放，受到水平向左的電場(chǎng)力作用而做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求出電子進(jìn)入電場(chǎng)II時(shí)的速度．電子從CD區(qū)域右側(cè)中點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置．
（2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子先在電場(chǎng)Ⅰ中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入電場(chǎng)Ⅱ后做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出位置x與y的關(guān)系式．

解答 解：（1）設(shè)電子的質(zhì)量為m，電量為e，電子在電場(chǎng)I中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)射出區(qū)域I時(shí)的為v₀．
根據(jù)動(dòng)能定理得 eEL=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$
進(jìn)入電場(chǎng)II后電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)電子從CD邊射出，出射點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，有$\frac{L}{2}$-y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，a=$\frac{eE}{m}$，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$
解得：y=$\frac{L}{4}$，即電子離開(kāi)ABCD區(qū)域的位置坐標(biāo)為（-2L，$\frac{L}{4}$）．
（2）設(shè)釋放點(diǎn)在電場(chǎng)區(qū)域I中，其坐標(biāo)為（x，y），在電場(chǎng)I中電子被加速到v₁，然后進(jìn)入電場(chǎng)II做類平拋運(yùn)動(dòng)，并從D點(diǎn)離開(kāi)，
有：eEx=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$，y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}\frac{eE}{m}（\frac{L}{{v}_{1}}）^{2}$
以上兩式聯(lián)立解得：xy=$\frac{{L}^{2}}{4}$，即在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)滿足方程的點(diǎn)即為所求位置．
（3）設(shè)電子從（x，y）點(diǎn)釋放，在電場(chǎng)I中加速到v₂，進(jìn)入電場(chǎng)II后做類平拋運(yùn)動(dòng)，在高度為y′處離開(kāi)電場(chǎng)II時(shí)的情景與（2）中類似，然后電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，則有：$eEx=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，$y-y′=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{eE{L}^{2}}{2md{v}_{2}^{2}}$，
${v}_{y}=at=\frac{eEL}{m{v}_{2}}$，
得：$y′={v}_{y}\frac{L}{n{v}_{2}}$
以上各式解得：xy=${L}^{2}（\frac{1}{2n}+\frac{1}{4}）$，即在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)滿足方程的點(diǎn)即為所求位置．
答：（1）在該區(qū)域AB邊的中點(diǎn)處由靜止釋放電子，電子從（（-2L，$\frac{L}{4}$）離開(kāi)ABCD區(qū)域．
（2）在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)適當(dāng)位置由靜止釋放電子，電子恰能從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)，所有釋放點(diǎn)為滿足xy=$\frac{{L}^{2}}{4}$的位置．
（3）若將左側(cè)電場(chǎng)II整體水平向右移動(dòng)$\frac{L}{n}$（n≥1），仍使電子從ABCD區(qū)域左下角D處離開(kāi)（D不隨電場(chǎng)移動(dòng)），
在電場(chǎng)I區(qū)域內(nèi)由靜止釋放電子的所有位置為xy=${L}^{2}（\frac{1}{2n}+\frac{1}{4}）$，

點(diǎn)評(píng) 本題考核了帶電粒子在簡(jiǎn)化的電子槍模型中的運(yùn)動(dòng)情況，是一道拓展型試題，與常見(jiàn)題所不同的是，一般試題是已知電子的出發(fā)點(diǎn)，然后求電子在電場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的軌跡或離開(kāi)電場(chǎng)的出射點(diǎn)位置，而本題則是反其道而行之，是規(guī)定了電子的出射點(diǎn)，要反推出在何處發(fā)出電子才能滿足所述要求．從內(nèi)容看，該題涉及的是電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，這部分知識(shí)學(xué)生相對(duì)比較熟悉，也是經(jīng)常訓(xùn)練的題型之一，只不過(guò)本題作了拓展．