Question

9．如圖所示，電阻不計的光滑軌道M0N與M′O′N′平行放置，接口OO′處平滑連接，OO′的連線垂直于0N，軌道間距處處為L，NN′之間有阻值為R的電阻，軌道傾斜部分MO和M′O′與水平面的夾角為θ，并處在磁感應強度大小為B，方向垂直傾斜軌道向上的勻強磁場區(qū)域內；水平部分ON與O′N′處在磁感應強度大小也為B，方向豎直向上的勻強磁場區(qū)域內．現(xiàn)將與傾斜導軌MO和M′O′緊密接觸且垂直的質量為m，電阻不計的金屬棒從距水平面h高處由靜止釋放，最后金屬棒停止在距離OO′為s的水平軌道上，已知重力加速度為g．
（1）求金屬棒在水平軌道上以速度v滑行時的加速度及電阻R上的發(fā)熱功率P；
（2）將金屬棒從距水平面2h高處止釋放，最后仍然停在距離OO′為s的水平軌道上，求金屬棒滑到OO′位置時的速度大�。�
（3）接第（2）小題，求金屬棒從距水平面2h處靜止釋放，到最后停止全過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)安培力公式和牛頓第二定律求加速度．求出電路中電流，由功率公式P=I²R求解電阻R上的發(fā)熱功率P．
（2）根據(jù)牛頓第二定律和加速度的定義式，運用積分法求金屬棒滑到OO′位置時的速度大小．
（3）根據(jù)能量守恒定律求電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）金屬棒在水平軌道上以速度v滑行時產(chǎn)生的感應電動勢 E=BLv
感應電流  I=$\frac{E}{R}$
金屬棒所受的安培力 F=BIL
根據(jù)牛頓第二定律得 F=ma
聯(lián)立解得 a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$，方向水平向左
電阻R上的發(fā)熱功率 P=I²R=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$
（2）設金屬棒滑到OO′位置時的速度大小為v₀．
金屬棒在水平軌道上運動時，取極短時間△t內金屬棒速度的變化量為△v，由牛頓第二定律得
  $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$
變形得  $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$△t=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$△t=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
而$\sum_{\;}^{\;}$v△t=s，$\sum_{\;}^{\;}$△v=v₀，解得 v₀=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}s}{mR}$
（3）根據(jù)能量守恒定律得：
電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱 Q=2mgh
答：
（1）金屬棒在水平軌道上以速度v滑行時的加速度大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$，方向水平向左．電阻R上的發(fā)熱功率為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$；
（2）將金屬棒從距水平面2h高處止釋放，最后仍然停在距離OO′為s的水平軌道上，金屬棒滑到OO′位置時的速度大小是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}s}{mR}$；
（3）接第（2）小題，求金屬棒從距水平面2h處靜止釋放，到最后停止全過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱是2mgh．

點評 解決本題的關鍵要正確分析金屬棒的受力情況，熟練推導出安培力與速度的關系，運用積分法求變速運動的速度，其切入口是牛頓第二定律和加速度的定義式．