Question

1．甲、乙兩車分別以v_甲=108km/h和v_乙=72km/h的速度在同一直線上向同一方向運動，乙車在前，甲車在后．當兩車相s₀=73m時，乙車由于某種特殊情況開始以a_乙=4m/s²的加速度勻減速運動，速度減為零時又立即以同樣大小的加速度做勻加速直線運動．乙車開始減速時甲車司機發(fā)現(xiàn)了情況，經(jīng)t₀=1s的反應(yīng)時間后立即以a_甲=6m/s²的加速度減速一段時間后保持勻速直線運動．為了避免發(fā)生相撞事故，甲車勻減速的時間至少多長？

Answer 1

分析 解答該題，首先要分析清楚甲乙兩車的運動過程，先分析當乙車的速度為零時，甲乙兩車的位移關(guān)系，假設(shè)此后甲車的速度不變，乙車開始加速運動，判斷兩車是否會相遇，若不能，說明甲車減速的時間過長，也就是說在乙車速度為零之前，甲車就要做勻速直線運動．求出乙車的速度為零時兩車的距離，再結(jié)合追擊與相遇的中的相遇而不想碰的條件，即可解得該題的結(jié)果．

解答 解：v_甲=108km/h=30m/s，v_乙=72km/h=20m/s
當乙的速度為零時，用時為T=20÷4=5s，乙的位移為：s_乙=$\frac{0{-v}_{乙}^{2}}{2{a}_{乙}}$=$\frac{0-2{0}^{2}}{2×（-4）}$=50m，
甲的速度為：v_甲′=30-6×（5-1）=6m/s
此時甲的位移為：s_甲=v_甲t₀+v_甲×（T-1）-$\frac{1}{2}$a_甲（T-1）²=30×1+30×（5-1）-$\frac{1}{2}$×6×（5-1）²=102m
此時有：s_乙+s₀=50+73=123m＞s_甲=102m，此時甲車還沒有追上乙車，輛車還相距：s${\;}_{0}^{′}$=s_乙+s₀-s_甲=50+73-102=21m
若從此時刻開始，甲做勻速直線運動，乙開始做勻加速直線運動，當速度相等時，用時為，t′=|$\frac{{v}_{甲}^{′}}{{a}_{甲}}$|=$\frac{6}{4}$=1.5s，甲乙的位移分別為：
s_甲′=v_甲′×$\frac{{v}_{甲}^{′}}{{a}_{甲}}$=6×$\frac{6}{4}$=9m
s_乙′=$\frac{1}{2}×{a}_{乙}×{t}^{′2}$=$\frac{1}{2}×4×1．{5}^{2}$=4.5m，
此時有：（4.5+21）m＞9m，說明此種情況下甲車已經(jīng)不會再追上乙車，甲車要想能追上乙車，在此之前的某個時刻就要做勻速直線運動．
設(shè)甲車開始剎車ts時開始做勻速直線運動，再經(jīng)過t_xs時與乙車相遇但不相撞，此時甲乙兩車的速度相等，
整個過程甲車的位移為：s_甲″=v_甲×t₀+v_甲t-$\frac{1}{2}$a_甲t²+（v_甲-a_甲t）t_x=30×1+30t-$\frac{1}{2}$×6×t²+（30-6t）t_x
乙車的位移為：s_乙″=$\frac{1}{2}$×v_乙×T+$\frac{1}{2}$×a_乙×（t₀+t+t_x-T）=$\frac{1}{2}$×20×5+$\frac{1}{2}$×4×（1+t+t_x-5）
甲乙兩車相遇是有關(guān)系式：s_甲″=s_乙″+73…①
相遇時速度相等，有：v_甲-a_甲t=4×（t₀+t+t_x-T）
即為：30-6t=4×（1+t+t_x-5）…②
聯(lián)立①②兩式得：t=3.4s或t=5.9s（由前面分析可知，此結(jié)果不可能，舍去）
答：為了避免發(fā)生相撞事故，甲車勻減速的時間至少為3.4s

點評 兩物體在同一直線上追及、相遇或避免碰撞問題中的條件是：兩物體能否同時到達空間某位置．因此應(yīng)分別對兩物體研究，列出位移方程，然后利用時間關(guān)系、速度關(guān)系、位移關(guān)系而解出．
分析追及問題的注意一下幾點：（1）要抓住一個條件，兩個關(guān)系：一個條件是兩物體的速度滿足的臨界條件，如兩物體距離最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．兩個關(guān)系是時間關(guān)系和位移關(guān)系，通過畫草圖找兩物體的位移關(guān)系是解題的突破口．
（2）若被追趕的物體做勻減速運動，一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運動．
（3）仔細審題，充分挖掘題目中的隱含條件，同時注意速度-時間圖象的應(yīng)用．
同時要注意相遇而不想碰的條件是相遇時速度相同．