Question

如圖所示，長為L的細(xì)繩上端系一質(zhì)量不計(jì)的環(huán)，環(huán)套在光滑水平桿上，在細(xì)線的下端吊一個(gè)質(zhì)量為m的鐵球（可視作質(zhì)點(diǎn)），球離地的高度h=L，當(dāng)繩受到大小為3mg的拉力時(shí)就會(huì)斷裂，現(xiàn)讓環(huán)與球一起以v=

2gL

的速度向右運(yùn)動(dòng)，在A處環(huán)被擋住而立即停止，A離右墻的水平距離也為L．不計(jì)空氣阻力，已知當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度為g．則：
（1）試通過計(jì)算分析環(huán)在被擋住停止運(yùn)動(dòng)后繩子是否會(huì)斷？
（2）在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，球第一次的碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離是多少？
（3）若球在碰撞過程中無能量損失，則球第二次的碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離又是多少？

Answer 1

分析：（1）在環(huán)由運(yùn)動(dòng)到被擋住而立即停止后，小球立即以速率v繞A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由重力與繩子的拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子的拉力，再判斷繩子是否會(huì)斷．
（2）在環(huán)停止以后，若繩子斷裂，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動(dòng)．假設(shè)小球直接落在地面上，求出水平位移，分析小球能否與墻碰撞．若與墻碰撞，碰撞后小球水平方向仍做勻速運(yùn)動(dòng)．再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解鐵球的第一次碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離．
（3）假設(shè)小球直接落到地面上，求出小球平拋運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間和水平位移，再求解球第二次的碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）在環(huán)被擋住而立即停止后，小球立即以速率v繞A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式有：F-mg=m

v2

L

解得，繩對小球的拉力大小為：F=3mg
所以環(huán)在被擋住停止運(yùn)動(dòng)后繩子恰好被拉斷．
（2）根據(jù)計(jì)算可知，在環(huán)被A擋住的瞬間繩恰好斷裂，此后小球做平拋運(yùn)動(dòng)．
假設(shè)小球直接落到地面上，則：h=L=

1

2

gt2
球的水平位移：x=vt=2L＞L
所以小球先與右邊的墻壁碰撞后再落到地面上
設(shè)球平拋運(yùn)動(dòng)到右墻的時(shí)間為t′，則t′=

L

v

=

L

2gL

=

L 2g

小球下落的高度h′=

1

2

gt′²=

L

4

所以求的第一次碰撞點(diǎn)距B的距離為：H=L-

L

4

=

3

4

L
（3）假設(shè)小球直接落到地面上，則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=

2L g

球的水平位移為x=vt=v

2L g

=2L，根據(jù)對稱性可知，球第二次的碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離是L．
答：
（1）環(huán)在被擋住停止運(yùn)動(dòng)后繩子恰好被拉斷．
（2）鐵球的第一次碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離是

3

4

L．
（3）球第二次的碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離是L．

點(diǎn)評：本題是圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，運(yùn)用假設(shè)法判斷小球能否與墻碰撞．小球與墻碰撞過程，與光的反射相似，具有對稱性．