Question

如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落回A點(diǎn)，求：

(1)推力對(duì)小球所做的功.

(2)x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)所做的功最少?最小功為多少？

(3)x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)用力最小?最小力為多少？

Answer 1

【知識(shí)點(diǎn)】動(dòng)能定理的應(yīng)用；牛頓第二定律；向心力．C2 D4 E2

【答案解析】(1) mg(16R²+x²) /8R(2)2R(3)mg  解析： （1）從A到C的過(guò)程中由動(dòng)能定理有：

從C點(diǎn)又正好落回到A點(diǎn)過(guò)程中：在C點(diǎn)水平拋出的速度為：

解得：W_F=mg(16R²+x²) /8R

（2）若功最小，則在C點(diǎn)動(dòng)能也最小，在C點(diǎn)需滿足：

從A到C的過(guò)程中由動(dòng)能定理有：

W_F=mgR

=2R

     （3）若力最小，從A到C的過(guò)程中由動(dòng)能定理有：

由二次方程求極值得：

x=4R最小的力F=mg

【思路點(diǎn)撥】（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后，又正好落回A點(diǎn)．因小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小，選取從A到C過(guò)程，由動(dòng)能定理可求出推力對(duì)小球所做的功．（2）力F做功越小，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度越小，到達(dá)最高點(diǎn)C的速度越小，當(dāng)小球恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，此時(shí)C點(diǎn)的速度最小，力F做功最�。�先由牛頓第二定律求出小球通過(guò)C點(diǎn)的最小速度，根據(jù)（1）問(wèn)的結(jié)果求出x，即可得到最小功；（3）根據(jù)功與x的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解力最小時(shí)x的值及最小的力．本題要挖掘隱含的臨界條件：小球通過(guò)C點(diǎn)的最小速度為 ，由動(dòng)能定理求解F做功，再運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式知識(shí)求解極值．