Question

5．神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律．天文學(xué)家觀測河外星系麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成．兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者的連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的距離保持不變，如圖所示．引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T．
（1）可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，試求m′（用m₁、m₂表示）；
（2）求暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式．
（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞．若可見星A的速率v=2.7×10⁵ m/s，運(yùn)行周期T=4.7π×10⁴ s，質(zhì)量m₁=6m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（G=6.67×10^-11 N•m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg）

Answer 1

分析 （1）抓住A、B做圓周運(yùn)動的向心力相等，角速度相等，求出A、B軌道半徑的關(guān)系，從而得知A、B距離為A衛(wèi)星的軌道半徑關(guān)系，可見星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對它的引力，根據(jù)萬有引力定律公式求出質(zhì)量m′．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求出暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；
（3）根據(jù)第（2）問的表達(dá)式求出暗星B的質(zhì)量，與太陽的質(zhì)量進(jìn)行比較，判斷是否是黑洞．

解答 解：（1）設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動的角速相同，其為ω．由牛頓運(yùn)動定律，
有：F_A=m₁ω²r₁，F(xiàn)_B=m₂ω²r₂，F(xiàn)_A=F_B
設(shè)A、B之間的距離為r，又r=r₁+r₂，由上述各式得：r=$\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{m}_{2}}{r}_{1}$…①
由萬有引力定律，有：F_A=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，
將①代入得：F_A=G$\frac{{m}_{1}{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}{r}^{2}}$，令 F_A=G$\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}$，比較可得：$m′=\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$…②
（2）由牛頓第二定律，有：$G\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$…③
又可見星A的軌道半徑為：r₁=$\frac{vT}{2π}$…④
由②③④式可得$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$．
（3）將m₁=6m_s代入⑤式，得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（6{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$…⑤
代入數(shù)據(jù)得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（6{m}_{s}+{m}_{2}）^{2}}=3.5{m}_{s}$…⑥
設(shè)m₂=nm_s，（n＞0），將其代入⑥式，得：
$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（6{m}_{s}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}=3.5{m}_{s}$…⑦
可見，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（6{m}_{s}+{m}_{2}）^{2}}$的值隨n的增大而增大，試令n=2，得：
$\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}=0.125{m}_{s}＜3.5{m}_{s}$…⑧
若使⑦式成立，則n必須大于2，即暗星B的質(zhì)量m₂必須大于2m_s，由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞．
答：（1）m′的質(zhì)量為$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$；
（2）暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式為$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
（3）B有可能是黑洞．

點(diǎn)評 對于天體運(yùn)動問題關(guān)鍵要建立物理模型．雙星問題與人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動模型不同，兩星都繞著它們之間連線上的一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動，雙星、圓心始終“三點(diǎn)”一線．