Question

18．小船在靜水中的速度為4m/s，水流速度為3m/s，河寬60m，求：
（1）過河的最短時間為多少？小船在河水中實際行駛的距離是多大？
（2）若要小船以最短距離過河，開船方向怎樣（即船頭與河岸上游或下游夾角）？過河時間為多少？（結果可用三角函數(shù)表示，如有根式可保留）

Answer 1

分析 （1）當靜水速與河岸垂直時，渡河時間最短，由位移與速度的關系，即可求出最短時間；
（2）因船在靜水中的速度大于水流速度，當船的合速度垂直河岸時，船渡河的位移最短，最短位移即為河寬，由d=vt即可求出時間．

解答 解：（1）設河寬為d，水速為v₁，船在靜水中的航速為v₂，當小船的船頭始終正對河岸時，渡河時間最短設為t，則有：
t=$\fracz2ngthx{{v}_{2}}$=$\frac{60}{4}$s=15s；
則船沿著水流方向的位移為：s=v_st=3×15m=45m；
那么小船實際渡河的位移為：x=$\sqrt{5rtvjhr^{2}+{s}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+4{5}^{2}}$m=75m；
（2）因為v_船＞v_水，要使小船航程最短，小船船頭方向需斜向上游，設船頭與河岸的夾角為θ，則有：$Cosθ=\frac{v_水}{v_船}=\frac{3}{5}=0.6$
所以得：θ=53°
船渡河的位移最短，最短位移即為河寬60m；此時小船實際渡河的時間為：t′=$\fracyog2ouz{{v}_{合}}$=$\frac{60}{\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}}$=$\frac{60\sqrt{7}}{7}$s．
答：（1）求小船渡河的最小時間是15s，此時小船實際渡河的位移為75m；
（2）船頭與河岸上游的夾角cosα=$\frac{3}{4}$，過河時間$\frac{60\sqrt{7}}{7}$S

點評 解決本題的關鍵知道合運動與分運動具有等時性，當靜水速與河岸垂直，渡河時間最短；當合速度與河岸垂直，渡河航程最短．