Question

游樂(lè)場(chǎng)的過(guò)山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來(lái)（如圖甲）．我們可以把它抽象成圖乙所示的由曲面軌道和圓軌道平滑連接的模型（不計(jì)摩擦和空氣阻力）．若質(zhì)量為m的小球從曲面軌道上的P點(diǎn)由靜止開始下滑，并且可以順利通過(guò)半徑為R的圓軌道的最高點(diǎn)A．已知P點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差h=3R，求：
（1）小球通過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)速度有多大？
（2）小球通過(guò)A點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力有多大？
（3）若小球在運(yùn)動(dòng)中需要考慮摩擦和空氣阻力，當(dāng)小球從P點(diǎn)由靜止開始下滑，且剛好能通過(guò)最高點(diǎn)A，則小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為多少？

Answer 1

（1）設(shè)小球在最低點(diǎn)的速度為V，由動(dòng)能定理得：
       mgh=

1

2

mV2
       得V=

2gh

=

6gR

   （2）取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球在A點(diǎn)的速度為V_A，設(shè)軌道對(duì)小球的彈力為F，
       由動(dòng)能定理得：
       mg(h-2R)=

1

2

mVA2       
      由向心力定義和牛頓第二定律得：
     F+mg=

mVA2

r

     聯(lián)立得F=mg
       由牛頓第三定律得：小球?qū)�軌道的壓力F′=mg
   （3）設(shè)小球剛好在A點(diǎn)的速度為V₀，由向心力定義和牛頓第二定律得：
      mg=

mV02

R

即V₀=

gR

      設(shè)小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦和空氣阻力所做的功W，由動(dòng)能定理得：
       mg（h-2R）+W=

1

2

mV02
       得  W=-0.5mgR
      所以小球克服阻力做功0.5mgR
答：（1）小球通過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)速度V=

6gR

    （2）小球通過(guò)A點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力F′=mg
    （3）小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為0.5mgR