Question

20．如圖所示，光滑半圓形軌道處于豎直平面內(nèi)，半圓軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點(diǎn)A．一質(zhì)量為m的小球在水平地面上的C點(diǎn)受水平向左的恒力F由靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)撤去恒力F，小球沿豎直半圓軌道運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B點(diǎn)，最后又落在水平地面上的D點(diǎn)（圖中未畫出）．已知A、C間的距離為L(zhǎng)，重力加速度為g．
（1）若軌道半徑為R，求小球到達(dá)圓軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N；
（2）為使小球能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B，求軌道半徑的最大值R_m．

Answer 1

分析 （1）先由動(dòng)能定理求出小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小，再由牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球的彈力，即可由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）當(dāng)小球?qū)�軌道的壓力恰好為零時(shí)，由上題彈力的表達(dá)式，求出軌道半徑的最大值R_m．

解答 解：（1）設(shè)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為v_B，根據(jù)動(dòng)能定理有：
FL-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²-0
設(shè)B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的壓力為 F′_N，對(duì)小球在B點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力分析如圖，則根據(jù)牛頓第二定律得：
F′_N+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：F′_N=$\frac{2FL}{R}$-5mg
根據(jù)牛頓第三定律可知小球?qū)�軌道的壓�?F_N=F′_N=$\frac{2FL}{R}$-5mg，方向豎直向上
（2）小球能夠到達(dá)最高點(diǎn)的條件是 F′_N≥0，即$\frac{2FL}{R}$-5mg≥0，
得：R≤$\frac{2FL}{5mg}$      
故軌道半徑的最大值為：R_m=$\frac{2FL}{5mg}$    
答：（1）若軌道半徑為R，小球到達(dá)圓軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N是$\frac{2FL}{R}$-5mg．
（2）為使小球能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B，軌道半徑的最大值R_m是$\frac{2FL}{5mg}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理、牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵理清過程，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砘蚨�律進(jìn)行解題．