Question

如圖所示，半徑為R的 1/4光滑圓弧軌道最低點(diǎn)D與水平面相切，在D點(diǎn)右側(cè)L₀=4R處用長為R的細(xì)繩將質(zhì)量為m的小球B（可視為質(zhì)點(diǎn)）懸掛于O點(diǎn)，小球B的下端恰好與水平面接觸，質(zhì)量為m的小球A（可視為質(zhì)點(diǎn)）自圓弧軌道C的正上方H高處由靜止釋放，恰好從圓弧軌道的C點(diǎn)切入圓弧軌道，已知小球A與水平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，細(xì)繩的最大張力F_m=7mg，重力加速度為g，試求：

（1）若H=R，小球A到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)D時(shí)所受軌道的支持力；
（2）試討論H在什么范圍內(nèi)，小球A與B發(fā)生彈性碰撞后細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)。

Answer 1

（1）5mg（2）或者

解析試題分析：：（1）設(shè)小球A運(yùn)動到圓弧軌道最低點(diǎn)D時(shí)速度為v₀，則由機(jī)械能守恒定律有：
    ①             
圓弧軌道最低點(diǎn)有：  ②  
解得：N=5mg     ③
（2）設(shè)A與B碰前速度為v_A，碰后A的速度為，B的速度為，則
A在水平面上滑行過程有：       ④
A與B碰撞過程有：                    ⑤
              ⑥
①若碰后B能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，則細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)，設(shè)小球B在最高處速度為，則在最高處有：  ⑦    
小球B從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)有： ⑧ 
小球B在最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩受力最大，則有：⑨
聯(lián)立①④⑤⑥⑦⑧⑨解得：           ⑩ 
②若A與B碰后B擺動的最大高度小于R，則細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)，則
根據(jù)機(jī)械能守恒有：                    ⑾
要保證A與B能發(fā)生碰撞，則                   ⑿
聯(lián)立①④⑤⑥⑾⑿解得：                  ⒀
考點(diǎn)：考查機(jī)械能守恒定律、向心力
點(diǎn)評：本題難度較大，本題運(yùn)算過程較復(fù)雜，通過向心力公式求繩子拉力，并通過機(jī)械能守恒定律結(jié)合“發(fā)生彈性碰撞后細(xì)繩始終處于拉直狀態(tài)”的具體要求列式求解，本題數(shù)學(xué)要求較高