Question

蕩秋千是同學(xué)們喜愛(ài)的一項(xiàng)體育活動(dòng)，隨著科技的迅速發(fā)展，將來(lái)的某一天，你也許會(huì)在火星上享受蕩秋千的樂(lè)趣．假設(shè)火星的質(zhì)量為M、半徑為R，蕩秋千的過(guò)程中可將人視為質(zhì)點(diǎn)，秋千質(zhì)量不計(jì)，繩長(zhǎng)不變，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）火星的第一宇宙速度是多少？
（2）火星表面附近的重力加速度g是多少？
（3）若你的質(zhì)量是m、秋千的繩長(zhǎng)l、繩與豎直方向的最大夾角等于θ，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力大小．

Answer 1

分析：（1）衛(wèi)星繞火星表面飛行，萬(wàn)有引力提供向心力列出等式求解．
（2）由星球表面附近的重力等于萬(wàn)有引力求出星球表面重力加速度．
（3）秋千從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒，列出等式求解．

解答：解：（1）設(shè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞火星表面飛行速度為v，萬(wàn)有引力提供向心力

GMm

R2

=m

v2

R

得 v=

GM R

（2）設(shè)物體的質(zhì)量為m，在火星球表面重力加速度為g，

GMm

R2

=mg
得 g=

GM

R2

（3）秋千經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，速度為v，從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒
mgl（1-cosθ）=

1

2

mv ²
v=

2gl(1-cosθ)

=

2GMl(1-cosθ) R2

答：（1）火星的第一宇宙速度是

GM R

（2）火星表面附近的重力加速度g是

GM

R2

（3）若你的質(zhì)量是m、秋千的繩長(zhǎng)l、繩與豎直方向的最大夾角等于θ，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的速度大小是

2GMl(1-cosθ) R2

．

點(diǎn)評(píng)：把星球表面的物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來(lái)是考試中常見(jiàn)的問(wèn)題．
重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量