Question

5．豎直固定的軌道由半徑為R的光滑$\frac{3}{4}$圓弧ABC和豎直粗糙桿CD構(gòu)成，二者在C點相切，如圖，一自然長度為$\sqrt{2}$R的輕質(zhì)橡皮繩（其伸長時說的力學(xué)性質(zhì)和理想彈簧相同）一端連接在A點，另一端于套在軌道上的質(zhì)量為m的小圓環(huán)相連，今將圓環(huán)沿豎直軌道拉直E點，此時橡皮繩恰好處于自然長度，由此位置靜止釋放圓環(huán)，圓環(huán)沿軌道向下滑動，已知圓環(huán)在軌道CD上滑動時受到大小恒為f=$\frac{1}{2}$mg的摩擦力，當(dāng)小環(huán)到達(dá)P點是速度最大，A，P連線與豎直直徑AB夾角為θ=30°，小環(huán)滑動到最低點B時速度為v，求：
（1）小環(huán)從E點到C點的運動時間以及到達(dá)C點時的速度大小；
（2）運動中橡皮繩的最大彈性勢能；
（3）小環(huán)到達(dá)B點時對軌道的壓力大�。ńY(jié)果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）小環(huán)從E點到C點的過程，橡皮繩松馳，沒有拉力．小環(huán)做勻加速運動．根據(jù)動能定理求出小球到達(dá)C點的速度，由位移等于平均速度乘以時間來求運動時間．
（2）小環(huán)運動到B點時橡皮繩的伸長量最大，彈性勢能最大．由E到B過程，運用能量守恒定律求橡皮繩的最大彈性勢能．
（3）小環(huán)到達(dá)P點是速度最大，其沿圓弧切線方向的合力為零，由此列式求出彈簧的勁度系數(shù)．在B點，由牛頓第二定律求出軌道對小環(huán)的支持力，再由牛頓第三定律得到小環(huán)對軌道的壓力大小．

解答 解：（1）由E到C過程，橡皮繩松弛，有 h=2R
根據(jù)動能定理得
  mgh-fh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得，到達(dá)C點時的速度 v₀=$\sqrt{2gR}$
由 2R=$\frac{{v}_{0}}{2}t$得
  t=$\sqrt{\frac{8R}{g}}$
（2）B點時彈性勢能最大，由E到B過程，由能量守恒定律得：
  mg•3R-f•2R=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+E_p；
解得，橡皮繩的最大彈性勢能 E_p=2mg-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
（3）當(dāng)小環(huán)到達(dá)P點是速度最大，在P點時，應(yīng)有
  mgsin60°=k（2Rcos30°-$\sqrt{2}$R）sin30°
得：k=$\frac{\sqrt{3}mg}{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）R}$
在B點，根據(jù)牛頓第二定律得：
  k（2R-$\sqrt{2}$）R+N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$     
得：N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$-$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$mg
根據(jù)牛頓第三定律知，小環(huán)到達(dá)B點時對軌道的壓力大小  N′=N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$-$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$mg
答：
（1）小環(huán)從E點到C點的運動時間是$\sqrt{\frac{8R}{g}}$，到達(dá)C點時的速度大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）運動中橡皮繩的最大彈性勢能是2mg-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
（3）小環(huán)到達(dá)B點時對軌道的壓力大小是mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$-$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$mg．

點評 本題關(guān)鍵是明確小環(huán)的受力情況、運動情況和能量轉(zhuǎn)化情況，然后結(jié)合動能定理、功能關(guān)系、牛頓第二定律和向心力公式列式求解．