Question

5．豎直固定的軌道由半徑為R的光滑$\frac{3}{4}$圓弧ABC和豎直粗糙桿CD構(gòu)成，二者在C點(diǎn)相切，如圖，一自然長(zhǎng)度為$\sqrt{2}$R的輕質(zhì)橡皮繩（其伸長(zhǎng)時(shí)說(shuō)的力學(xué)性質(zhì)和理想彈簧相同）一端連接在A點(diǎn)，另一端于套在軌道上的質(zhì)量為m的小圓環(huán)相連，今將圓環(huán)沿豎直軌道拉直E點(diǎn)，此時(shí)橡皮繩恰好處于自然長(zhǎng)度，由此位置靜止釋放圓環(huán)，圓環(huán)沿軌道向下滑動(dòng)，已知圓環(huán)在軌道CD上滑動(dòng)時(shí)受到大小恒為f=$\frac{1}{2}$mg的摩擦力，當(dāng)小環(huán)到達(dá)P點(diǎn)是速度最大，A，P連線與豎直直徑AB夾角為θ=30°，小環(huán)滑動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)速度為v，求：
（1）小環(huán)從E點(diǎn)到C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間以及到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）運(yùn)動(dòng)中橡皮繩的最大彈性勢(shì)能；
（3）小環(huán)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。ńY(jié)果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）小環(huán)從E點(diǎn)到C點(diǎn)的過(guò)程，橡皮繩松馳，沒(méi)有拉力．小環(huán)做勻加速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)動(dòng)能定理求出小球到達(dá)C點(diǎn)的速度，由位移等于平均速度乘以時(shí)間來(lái)求運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）小環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)橡皮繩的伸長(zhǎng)量最大，彈性勢(shì)能最大．由E到B過(guò)程，運(yùn)用能量守恒定律求橡皮繩的最大彈性勢(shì)能．
（3）小環(huán)到達(dá)P點(diǎn)是速度最大，其沿圓弧切線方向的合力為零，由此列式求出彈簧的勁度系數(shù)．在B點(diǎn)，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)小環(huán)的支持力，再由牛頓第三定律得到小環(huán)對(duì)軌道的壓力大�。�

解答 解：（1）由E到C過(guò)程，橡皮繩松弛，有 h=2R
根據(jù)動(dòng)能定理得
  mgh-fh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度 v₀=$\sqrt{2gR}$
由 2R=$\frac{{v}_{0}}{2}t$得
  t=$\sqrt{\frac{8R}{g}}$
（2）B點(diǎn)時(shí)彈性勢(shì)能最大，由E到B過(guò)程，由能量守恒定律得：
  mg•3R-f•2R=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+E_p；
解得，橡皮繩的最大彈性勢(shì)能 E_p=2mg-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
（3）當(dāng)小環(huán)到達(dá)P點(diǎn)是速度最大，在P點(diǎn)時(shí)，應(yīng)有
  mgsin60°=k（2Rcos30°-$\sqrt{2}$R）sin30°
得：k=$\frac{\sqrt{3}mg}{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）R}$
在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：
  k（2R-$\sqrt{2}$）R+N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$     
得：N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$-$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$mg
根據(jù)牛頓第三定律知，小環(huán)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小  N′=N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$-$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$mg
答：
（1）小環(huán)從E點(diǎn)到C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是$\sqrt{\frac{8R}{g}}$，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）運(yùn)動(dòng)中橡皮繩的最大彈性勢(shì)能是2mg-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
（3）小環(huán)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$-$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$mg．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小環(huán)的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況和能量轉(zhuǎn)化情況，然后結(jié)合動(dòng)能定理、功能關(guān)系、牛頓第二定律和向心力公式列式求解．