Question

14． 如圖所示，一細直桿PO始終與水平面夾角為37°，桿可繞過其低端點O的豎直軸OO勻速轉動，在桿上端A點處套一小環(huán)，當桿靜止時，環(huán)由A處無初速度沿桿下滑用時1s到達其底端O處，AO距離為1m，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）環(huán)與桿間的動摩擦因數(shù)μ；
（2）欲使環(huán)在A點不打滑，則桿繞豎直軸OO′勻速轉動的角速度范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻加速直線運動位移時間公式求出下滑時的加速度，再根據(jù)牛頓第二定律求出動摩擦因數(shù)；
（2）先根據(jù)幾何關系求出小環(huán)轉動的半徑，當摩擦力達到最大靜摩擦力且方向沿直桿向下時，角速度最大，當摩擦力達到最大靜摩擦力且方向沿直桿向上時，角速度最小，根據(jù)向心力公式列式求出范圍即可．

解答 解：（1）環(huán)由A處無初速度沿桿下滑做勻加速直線運動，根據(jù)x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：
a=$\frac{2x}{{t}^{2}}=\frac{2×1}{1}=2m/{s}^{2}$
對環(huán)受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得：
a=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$
解得μ=0.5
（2）環(huán)繞OO′軸做勻速圓周運動，合外力提供向心力，根據(jù)幾何關系可知，半徑r=OA•cos37°=0.8m，
當摩擦力達到最大靜摩擦力且方向沿直桿向下時，角速度最大，則有：
$（mgsin37°+μmgcos37°）cos37°=m{{ω}_{max}}^{2}r$
解得：${ω}_{max}=\sqrt{10}rad/s$
當摩擦力達到最大靜摩擦力且方向沿直桿向上時，角速度最小，則有：
$（mgsin37°-μmgcos37°）cos37°=m{{ω}_{min}}^{2}r$
解得：${ω}_{max}=\sqrt{2}rad/s$
則桿繞豎直軸OO′勻速轉動的角速度范圍為$\sqrt{2}rad/s≤ω≤\sqrt{10}rad/s$
答：（1）環(huán)與桿間的動摩擦因數(shù)μ為0.5；
（2）欲使環(huán)在A點不打滑，則桿繞豎直軸OO′勻速轉動的角速度范圍為$\sqrt{2}rad/s≤ω≤\sqrt{10}rad/s$．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律、運動學基本公式以及向心力公式得直接應用，要求同學們能正確分析小環(huán)的受力情況和運動情況，注意小環(huán)做圓周運動的半徑不是OA的長度，難度適中．